[理學(xué)]數(shù)值分析課件第7章(已修改)
2024-10-28 21:14 本頁(yè)面
【正文】 機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 第七章解非線性方程求根 內(nèi)容提要 方程求根與二分法 迭代法及其收斂性 牛頓法 弦截法 機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 方程求根與二分法 一、引言 .]b,a[C)x(f,Rx 0)x(f ???的求根問(wèn)題，其中考慮單變量非線性方程非線性方程的分類 .0ex : .2.01xx : ).n,1,0i(Ra,0a,0axaxaxa .1x3i0n1n1n1n0????????????????如超越方程如其中代數(shù)方程??機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 32 1 1 . 1 3 8 . 8 4 1 . 7 7 0x x x? ? ? ?例 如 求 方 程 的 有 根 區(qū) 間搜索法求有根區(qū)間。則可用若。此時(shí)重零點(diǎn)。的為則稱為正整數(shù)其中可以分解為如果 ,0)b(f)a(f],b,a[C)x(f0*)x(f,0*)x(f*)x(f*)x(f m)x(f*x .m ,|*)x(g|0),x(g*)xx()x(f )x(f)m()1m(m????????????????由此可知方程的有根區(qū)間為 [1,2] [3,4] [5,6] 求根問(wèn)題的三個(gè)方面：存在性，分布，精確化。 x 0 1 2 3 4 5 6 f(x)的符號(hào) ? ? + + ? ? + 機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 00001 0 1 1 1 0( ) ( ) 0 , ( ) / 2. ( ) ( ), . ( ) ( ), 。 ,f a f b x a bf x f xxf a f xa x b b a a b x? ? ? ?? ? ? ?設(shè) 取假 如 是 的 零 點(diǎn) ，那 么 輸 出 停 止 假 若 不 然 ，若 與 同 號(hào) ， 則否 則 。11110111( 1 ) [ , ] [ , ] [ , ] ( 2) x , x = , , x = , 22( 3) , , , , 22kkkkkkk ka b a b a babbab a b ab a b a b a? ? ? ???? ? ? ?二 分 過(guò) 程 中 有 三 個(gè) 量 在 變 ：（ 區(qū) 間 、 近 似 根 、 區(qū) 間 長(zhǎng) 度 ）二、二分法 0 x y X* x0 a b y=f(x) a1 b1 機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 3 ( ) 1 0 [ 1 . 0 , 1 . 5 ]2.f x x x? ? ? ?求 在 內(nèi) 的 一 個(gè)實(shí) 根 ， 準(zhǔn) 確 到 小 數(shù) 點(diǎn) 后 位例 71 1k| * | ( ) / 2 ( ) / 2( ) / 2 * ( ) . xxkk k kk k kx x b a b ax a b x kk????? ? ? ? ?? ? ? ? ???收 斂 性 分 析 ：因故 有 , 因 此 ， 只 要 二 分 的 足 夠 多 次 （ 即 充 分 大 ） ，便 有 ， 這 里 為 預(yù) 定 的 精 度 。機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 k ak bk xk f(xk)符號(hào) 0 1 2 3 4 5 6 ? + ? + + ? ? 6k66* ??? 度），便能達(dá)到預(yù)定的精次（只要二分機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 。的一個(gè)為函數(shù)稱化為等價(jià)形式將非線性方程不動(dòng)點(diǎn))x(*x。 )*x(*x0*)x(f )x(x 0)x(f????????二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，且總是收斂的，缺點(diǎn)是收 斂太慢 ,故一般不單獨(dú)將其用于求根，只用其為根求 得一個(gè)較好的近似值。 迭代法 一、不動(dòng)點(diǎn)迭代與不動(dòng)點(diǎn)迭代法 機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 0 1 01, ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , . ()kkx x xx x kx???????給 定 初 始 近 似 值 可 以 得 到如 此 反 復(fù) ， 構(gòu) 造 迭 代 公 式（ ）稱 為 迭 代 函 數(shù) 。 上述迭代法是一種逐次逼近法，其基本思想是將隱式方 程歸結(jié)為一組顯示的計(jì)算公式，就是說(shuō)，迭代過(guò)程實(shí)質(zhì)上是 一個(gè)逐步顯示的過(guò)程。 0[ , ] 2. 2 { } l i m( ) ( )kkkx a b xxxx x x??????????如 果 對(duì) 任 何 ， 由 式 （ ） 得 到 的 序 列 有 極 限則 稱 迭 代 方 程 收 斂 ， 且 為 的 不 動(dòng) 點(diǎn) ，稱 式 （ ） 為 不 動(dòng) 點(diǎn) 迭 代 法 。機(jī)動(dòng) 上頁(yè) 下頁(yè) 首頁(yè) 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 3 1 0 1 . 5 *x x x? ? ?求 在 附 近 的 根 。 例 72k xk k xk k xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ),2,1,0k(1xx1xx13k1k3???????據(jù)此建立迭代公式式）將方程改寫成下列形解：（即為所求的根。實(shí)際上已滿足方程完全相同，可以認(rèn)為與結(jié)果 78
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