【正文】 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 167。 2 牛頓 柯特斯公式 167。 3 龍貝格求積法 CH6 數(shù)值積分與數(shù)值微分 167。 1 數(shù)值積分有關(guān)的基本概念 167。 4 高斯求積公式 167。 5 數(shù)值微分 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2 為了計算瑞士國土的面積 ,首先對地圖作了如下測量 : 以西向東方向為 x軸 ,由南向北方向為 y軸 ,選擇方便的原點 , 并將從最西邊界到最東邊界在 x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃? 若干段 ,在每個分點的 y方向測出南邊界點和北邊界點的 y 坐標(biāo) ,數(shù)據(jù)如表 (單位 mm): x y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 一個實際問題CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 20 40 60 80 100 120 140 16020406080100120140瑞士地圖的外形如圖 (比例尺 18mm:40km) 試由測量數(shù)據(jù)計算瑞士國土的近似面積 ,并與其精確值 41288平方公里比較 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 167。 1 數(shù)值積分的基本概念 ?? ba dxxffI )()(對于積分 公式有則由的原函數(shù)如果知道 L e i b n i zN e w t o nxFxf ?),()(?ba dxxf )( )()()( aFbFxF ba ???但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中 ,常會見到以下 現(xiàn)象 : 的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在 )(,)()1( xfxf不是初等函數(shù)如求不出來的原函數(shù) )(,)()()2( xFxFxf一、數(shù)值積分的必要性 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1,s in lnx d x d xxx??例如 24 201 1 2 1lo g1 4 2 2 1x xxdtt xx???? ???1 ()2 2 2 2xxa r c tg a r c tgxx?? ??求原函數(shù)較困難的表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜 ,)()3( xf例如 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY ( ) [ , ]f x C a b?設(shè) ， 則 由 積 分 中 值 定 理二 基 本 思 想( ) ( )baI f f x d x? ?( ) ( ) [ , ]b a f a b??? ? ?()f??, ( )b a f ??即 ： 曲 邊 梯 形 的 面 積 等 于 底 為 高 為 的 矩 形 面 積( ) [ , ]f a b? 曲 邊 梯 形 在 的 平 均 高 度 。1. 梯 形 公 式( ) ( )baI f f x d x? ?()baI f x d x? ?中 ：2. 矩 形 公 式()baI f x d x? ?左 ：()baI f x d x? ?右 ： ( )( )f b b a??( )( )f a b a??( ) ( )2abf b a???[ ( ) ( ) ] ()2f a f b ba???()fa()fb2abf ?2ab?CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY { } ( )kkkxA x f x其 中 , ： 求 積 節(jié) 點 ； ： 求 積 系 數(shù) ， 僅 與 有 關(guān) ， 與 無 關(guān) 。3推 廣10 00( ) ( ) li m ( ) m ax , [ , ] .nbk k k k k ka knkI f f x dx f x x x x? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ??? ， 其 中0( ) ( ) ( )nb kkak nI f f x dx A f Ix?? ? ? ??()nnR I f I??求 積 余 項 ：0( ) ( )nb kkakf x dx A f x??? ??1201()1I f dxx? ??如 ， 求 的 近 似 值 。1 方 法 ：? 方 法 2：? 1 201 ( 0 ) 4 ( ) ( 1 )( ) 833 3...16f f fI f dxx??? ? ???1201 ( 0 ) ( 1 )( ) 512ffI f dxx?? ? ???1 12 001( ) ar c t an 853 981 5...14I f dx xx?? ? ? ??? 精 確 值 ：? 方 法 誤 差CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三、代數(shù)精度 如何衡量一個求積公式的好壞？ ⒈ 定義 ：若某個求積公式對所有次數(shù) ≤m的多項式都 精確成立，而至少對一個 m+1次多項式不精確成立， 則稱該公式具有 m次代數(shù)精度 。 ⒉ 定理 1：一個求積公式具有 m次代數(shù)精度的 充分必要 條件 是該公式對 精確成立，而對 不精確成立。 ( 0 , 1 , , )kx k m?1mx ?CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例 1 驗證矩形公式 ( ) ( )2abI b a f ???的代數(shù)精度為多少？ 解： 所以代數(shù)精度為 1。 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解： 例 2 試確定系數(shù)，使 12( ) ( )I A f a A f b??的代數(shù)精度盡量高。 所以至少具有 1次代數(shù)精度。 此公式為 令公式分別對 f (x)=1, x時精確成立，則有 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 思考 該 公 式 的 代 數(shù) 精 度 最 高問 題 ： 可 達(dá) 多 少 ？12 有 幾 個 待 定 參 數(shù) ？ 提 示 可 列 幾： 個 方 程 ？3例 試 確 定 積 分 公 式1 2 1 23133.A A x xn? ? ? ? ??， ； 代 數(shù) 精 度答 案 ：G a uss ( .4 )使 代 數(shù) 精 度 達(dá) 到 最 高 的 數(shù) 值 求 積 公 式 ， 稱 為 式注公備 ：中 介 紹167。11 1 2 21 ( ) ( ) ( )I f x A f x A f x?? ? ??1 2 1 2,A A x x中 的 參 數(shù) , ， 使 其 代 數(shù) 精 度 盡 量 高 , 并 求 代 數(shù) 精 度 。n有 個 節(jié) 點 的 求 積 公 式 , 精 度 最 高 可推 廣 ： 達(dá) 多 少 ？CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三、插值型求積公式 上取一組節(jié)點在積分區(qū)間 ],[ ba bxxxa n ????? ?10nn k k