【正文】 數(shù)學(xué)軟件講義 第 5章 matlab數(shù)值計(jì)算 黃可坤 嘉應(yīng)學(xué)院 第 5章 MATLAB數(shù)值計(jì)算 特殊矩陣 矩陣分析 矩陣分解與線性方程組求解 數(shù)據(jù)處理與多項(xiàng)式計(jì)算 傅立葉分析 數(shù)值微積分 常微分方程的數(shù)值求解 非線性方程的數(shù)值求解 稀疏矩陣 特殊矩陣 1. 矩陣的對角元素 (1)提取矩陣的對角線元素 設(shè) A為 m n矩陣， diag(A)函數(shù)用于提取矩陣 A主對角線元素產(chǎn)生一個(gè)具有 min(m,n)個(gè)元素的列向量。 diag(A)函數(shù)還有更進(jìn)一步的形式 diag(A,k)，其功能是提取第 k條對角線的元素。 (2)構(gòu)造對角矩陣 設(shè) V為具有 m個(gè)元素的向量， diag(V)將產(chǎn)生一個(gè) m m對角矩陣，其主對角線元素即為向量 V的元素。 diag(V)函數(shù)也有更進(jìn)一步的形式 diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè) n n(n=m+)對角陣，其第 k條對角線的元素即為向量 V的元素。 例 先建立 5 5矩陣 A，然后將 A的第 1行元素乘以 1，第 2行乘以 2， … ，第 5行乘以 5。 命令如下： A=[17,0,1,0,15。23,5,7,14,16。4,0,13,0,22。10,12,19,21,3。11,18,25,2,19]。 D=diag([1,2,3,4,5])。 D*A 2. 矩陣的三角陣 (1)下三角矩陣 求矩陣 A的下三角陣的 MATLAB函數(shù)是 tril(A)。 tril(A)函數(shù)也有更進(jìn)一步的一種形式 tril(A,k)，其功能是求矩陣 A的第 k條對角線以下的元素。 (2)上三角矩陣 在 MATLAB中，提取矩陣 A的上三角矩陣的函數(shù)是 triu(A)和 triu(A,k)，其用法與提取下三角矩陣的函數(shù) tril(A)和 tril(A,k)完全相同。 特殊矩陣的生成 1. 魔方矩陣 函數(shù) magic(n)，其功能是生成一個(gè) n階魔方陣。 例 將 101~125等 25個(gè)數(shù)填入一個(gè) 5行 5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為 565。 命令如下： B=100+magic(5) 2. 范得蒙矩陣 函數(shù) vander(V)生成以向量 V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。 3. 希爾伯特矩陣 生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是 hilb(n)。 MATLAB中，有一個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù) invhilb(n)，其功能是求 n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。 4. 托普利茲矩陣 生成托普利茲矩陣的函數(shù)是 toeplitz(x,y)，它生成一個(gè)以 x為第 1列， y為第 1行的托普利茲矩陣。這里 x, y均為向量，二者不必等長。 5. 友矩陣 生成友矩陣的函數(shù)是： pan(P)，生成多項(xiàng)式 P的友矩陣。 P是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。 6. 帕斯卡矩陣 函數(shù) pascal(n)生成一個(gè) n階的帕斯卡矩陣。 例 (x+y)5的展開式。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 其次對角線上的元素 1， 5， 10， 10， 5， 1即為展開式的系數(shù)。 矩陣分析 矩陣結(jié)構(gòu)變換 1. 矩陣的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號 (39。)。 2. 矩陣的旋轉(zhuǎn) 矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù) rot90(A,k)，功能是將矩陣 A旋轉(zhuǎn) 90186。的 k倍，當(dāng) k為 1時(shí)可省略。 3. 矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 對矩陣 A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是 fliplr(A)。 4. 矩陣的上下翻轉(zhuǎn) 對矩陣 A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是 flipud(A)。 矩陣的逆與偽逆 1. 矩陣的逆 求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣 A的逆可調(diào)用函數(shù) inv(A)。 例 用求逆矩陣的方法解線性方程組。 命令如下： A=[1,2,3。1,4,9。1,8,27]。 b=[5,–2,6]39。 x=inv(A)*b 一般情況下，用左除比求矩陣的逆的方法更有效，即 x=A\b。 2. 矩陣的偽逆 MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是 pinv(A)。 例 求 A的偽逆，并將結(jié)果送 B。 命令如下： A=[3,1,1,1。1,3,1,1。1,1,3,1]。 B=pinv(A) 例 求矩陣 A的偽逆。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： A=[0,0,0。0,1,0。0,0,1]。 pinv(A) 方陣的行列式 求方陣 A所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是 det(A)。 例 (Cramer)方法求解線性方程組。 程序如下： D=[2,2,1,1。4,3,1,2。8,5,3,4。3,3,2,2]。 %定義系數(shù)矩陣 b=[4。6。12。6]。 %定義常數(shù)項(xiàng)向量 D1=[b,D(:,2:4)]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 1列 D2=[D(:,1:1),b,D(:,3:4)]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 2列 D3=[D(:,1:2),b,D(:,4:4)]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 3列 D4=[D(:,1:3),b]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 4列 DD=det(D)。 x1=det(D1)/DD。 x2=det(D2)/DD。 x3=det(D3)/DD。 x4=det(D4)/DD。 [x1,x2,x3,x4] 矩陣的秩 MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是 rank(A)。例如，求例 D的秩，命令是： D=[2,2,1,1。4,3,1,2。8,5,3,4。3,3,2,2]。 r=rank(D) r = 4 說明 D是一個(gè)滿秩矩陣。 向量和矩陣的范數(shù) 1. 計(jì)算向量 3種常用范數(shù)的函數(shù) (1)norm(V)或 norm(V,2) 計(jì)算向量 V的 2—范數(shù) (2)norm(V,1) 計(jì)算向量 V的 1—范數(shù) (3)norm(V,inf) 計(jì)算向量 V的 ∞—范數(shù) 例 已知 V，求 V的 3種范數(shù)。 命令如下： V=[1,1/2,1]。 v1=norm(V,1) %求 V的 1—范數(shù) v2=norm(V) %求 V的 2—范數(shù) vinf=norm(V,inf) %求 ∞—范數(shù) 2. 矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) MATLAB中提供了求 3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同 例 求矩陣 A的三種范數(shù)。 命令如下： A=[17,0,1,0,15。23,5,7,14,16。4,0,13,0,22。10,12,19,21,3。11,18,25,2,19]。 a1=norm(A,1) %求 A的 1—范數(shù) a2=norm(A) %求 A的 2—范數(shù) ainf=norm(A,inf) %求 A的 ∞—范數(shù) 矩陣的條件數(shù)和跡 1. 的條件數(shù) MATLAB中，計(jì)算矩陣 A的 3種條件數(shù)的函數(shù)是： (1)cond(A,1) 計(jì)算 A的 1—范數(shù)下的條件數(shù) (2)cond(A)或 cond(A,2) 計(jì)算 A的 2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù) (3)cond(A,inf) 計(jì)算 A的 ∞—范數(shù)下的條件數(shù) 例 求矩陣 X的三種條件數(shù)。 命令如下： A=