數(shù)值分析課件(第4章)(已修改)
2025-10-25 15:37 本頁面
【正文】 機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 第四章 數(shù)值積分和數(shù)值微分 內(nèi)容提要 引言 牛頓 柯特斯公式 復(fù)化求積公式 龍貝格求積公式 高斯求積公式 數(shù)值微分 機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 引言 一、數(shù)值求積的基本思想 對定義在區(qū)間［ a,b］上的定積分 )()()( aFbFxxfI ba ??? ? d 但有時(shí)原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時(shí)原函數(shù)又十分 復(fù)雜，難于求出或計(jì)算；另外如被積函數(shù)是由測量或數(shù)值計(jì) 算給出的一張數(shù)據(jù)表示時(shí)，上述方法也不能直接運(yùn)用。因此 有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題。 機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 ).)(()( abfxxfI ba ??? ? ?d 積分中值定理告訴我們： 平均高度 f(ζ) a ζ b y x y=f(x) 0 機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 a f((a+b)/2) b y xy=f(x) 0 a b y x y=f(x) 0 梯形公式 d )(2 )]()([)( abbfafxxfT ba ???? ?平均高度 中矩形公式 平均高度 d )2()()( bafabxxfR ba ???? ?機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 。則稱該求積公式具有立成次的多項(xiàng)式等式不準(zhǔn)確一個(gè)都準(zhǔn)確成立，而對于某的多項(xiàng)式對于所有次數(shù)不超過若某個(gè)求積公式次代數(shù)精度定義1mmm , 1?更一般地，我們構(gòu)造具有下列形式的求積公式 求積節(jié)點(diǎn) 求積系數(shù) 這類數(shù)值方法通常稱為機(jī)械求積，其特點(diǎn)是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開了牛頓 萊布尼茲公式需要尋求原函數(shù)的困難。 二、代數(shù)精度的概念 )()(0knkkbaxfAxxf ????d機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 代數(shù)精確度。因此梯形公式具有一次右邊左邊右邊左邊當(dāng)右邊左邊右邊左邊當(dāng)右邊左邊右邊左邊當(dāng)令代數(shù)精度梯形公式???????????????????????????????????????????)(2][)(3)(33]3[,)(22)(2][22]2[,)()(2][,1)(,....,1)())(2)]()([)((223332222222ababaabbabxxxxxfabababxxxxxfabababxxfxxfabbfafxxfTbabababababa22abdabd11d1d機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 1,( ) ( ) ( )1hhf x d x A f h B f x?? ? ??確 定 下 面 公 式 中 的 待 定 參 數(shù) 使 其 代 數(shù) 精 度 盡 量 高 并 指 明 所構(gòu) 造 的 求 積 公 式 所 具 有 的 代 數(shù) 精 度例 4利用代數(shù)精度的概念構(gòu)造求積公式 212 2 31: ( ) 1 , , ,2023f x x xA B hhA B xh A B x h??? ???? ? ???? ???解 令 代 入 公 式 并 令 其 相 等 ， 得機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 )( knkknknfxlxLnkfxfbxxxa?????????010)()(,2,1,0)(值多項(xiàng)式作拉格朗日插在這些節(jié)點(diǎn)上的值且已知設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)??133 3 3 41 1 2, , .3 2 31 ( ) [ ( ) 3 ( ) ]23( ) ,14 0 ( ) 3 ( )2 3 9hhhhx h A h B hhf x dx f h f hf x xhx dx h h h??? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ???????，解 得 于 是再 令 得故 求 積 公 式 具 有 2 次 代 數(shù) 精 度 。三、插值型的求積公式 機(jī)動(dòng) 上頁 下頁 首頁 結(jié)束 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 ? ?0( 1 ), ( ) ( ) ( ) () [ ] ( ) ( ) ( )( 1 ) ! banbbn n k kaaknbbnnaaI f x dxI L x dx l x dx ffR f I I f x L x dx x dxnn?????????????? ? ? ? ????????于 是 得 到 積 分 的 近 似 值這 樣 構(gòu) 造 的 求 積 公 式 稱 為 插 值 型 的 求 積 公 式 。它 的 余 項(xiàng) 為這 時(shí) 的 求 積 公 式 至 少 具 有 次 代 數(shù) 精 度梯 形 公 式 余 項(xiàng)344( ) ( )[ ] = ( ) ( ) = ( ) , ( , ) 2 12[ ] = ( ) ( ) , ( , ) 180 2baf b aR f x a x b dx f a bb a b aR f
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