【正文】 第七章 數(shù)值積分 與 微 分 （上） 第七章目錄 167。 1 數(shù)值積分的基本概念 167。 2 牛頓一柯特斯（ NewtonCotes） 公式 NC求積公式的余項 167。 3 復(fù)化求積公式 Simpson公式與復(fù)化 Cotes公式 第七章目錄 167。 4 變步長方法（逐次分半算法 ） 梯形公式的逐次分半算法 Simpson公式的逐次分半算法 167。 5 龍貝格（ Romberg） 求積公式 Romberg求積公式 167。 6 高斯（ Gauss） 型求積公式 167。 7 數(shù)值微分 序 (1) 計算定積分 的值是經(jīng)常遇到的一個問題， 由微積分理論知道：只要求出 f (x)的一個原函數(shù) F(x)， 就可以利用牛頓 — 萊布尼慈（ NewtonLeibniz） 公式 出定積分值： ? ba xxf d)(? ??? ba aFbFdxxfI )()()( 但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實際使用上述求積分方法 時，往往會遇到下面情況： 1. 函數(shù) f (x)沒有具體的解析表達式，只有一些由實驗 測試數(shù)據(jù)形成的表格或 圖形。 序 (2) 3. f (x) 的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。 等32 1,ln 1,s i n,s i n)( 2 xxxex xxf x ?? ?2. f (x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如： 由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計算 方法，進而建立起上機計算定積分的算法，此外，數(shù)值積分也是研究微分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。 同樣，對函數(shù) f (x)求導(dǎo)，也有類似的問題，需要研究數(shù)值微分方法。 167。 1 數(shù)值積分的基本概念 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想 定積分 I=∫ab f (x)dx在幾何上為 x=a, x=b, y=0和 y=f (x)所 圍成的曲邊梯形的面積。定積分計算之所以困難，就在于 這個曲邊梯形中有一條邊 y=f (x)是曲邊，而不是規(guī)則圖形。 由積分中值定理，對連續(xù)函數(shù) f (x)， 在區(qū)間 [a, b] 內(nèi)至少 存在一點 ?，使： )()()( ?fabdxxfI ba??? ? 也就是說，曲邊梯形的面積 I 恰好 等于底為 （ ba） ， 高為 f (?)的規(guī)則圖 形 — 矩形的面積（圖 71）， f (?)為曲 邊梯形的平均高度，然而點 ?的具體位置一般是不知道的， 因此難以準確地求出 f (?)的值。但是，由此可以得到這樣 的啟發(fā)，只要能對平均高度 f (?)提供一種近似算法，便可 以相應(yīng)地得到一種數(shù)值求積公式。 圖 71 a b ξ )(xfy ?)(?f構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù)） 如，用兩端點的函數(shù)值 f (a)與 f (b)取算術(shù)平均值作為平均 高度 f (?)的近似值，這樣可導(dǎo)出求積公式： 中矩形公式取梯形公式 2)()( ,2 ))()((2)( ?????? ?????????????bafabdxxfIbabfafabdxxfIbaba? 更一般地，可以在區(qū)間 [a, b] 上適當(dāng)選取某些點 xk (k=0,1, …, n)， 然后用 f (xk) 的加權(quán)平均值近似地表示 f (?)， 這樣得到一般的求積公式： 1)(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfI ??? ???其中，點 xk 稱為求積節(jié)點，系數(shù) Ak 稱為求積系數(shù)， Ak 僅僅與節(jié)點 xk 的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù) f (x)的具體形式，即 xk決定了， Ak也就相應(yīng)的決定了。 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù) 1） 回顧定積分的定義，積 分值 I 是和式的極限： ????????????nkkkxM a xnbaxxfdxxfIknk00 )(lim)(0或 其中 ?xk是 [a, b] 的每 一個分割小區(qū)間的長度，它與 f (x)無關(guān)，去掉極限，由此 得到近似計算公式： ?????????nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00 )()()(因此，式（ 71）可作為一般的求積公式，其特點是將積分問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算，從而避開了使用 牛頓一萊布尼慈公式 需要求原函數(shù)的困難，適合于函數(shù)給出時計算積分，也非常便于設(shè)計算法。便于上機計算。 求積公式 （ 71） 的截斷誤差為： ????????nkkkbannxfAdxxfIIRfR0 )()()(Rn也稱為 積分余項 。 代數(shù)精度 數(shù)值積分是一種近似方法，但其中有的公式能對較多 的函數(shù)準確成立，而有的公式只對較少的函數(shù)準確成立。 為了反映數(shù)值積分公式在這方面的差別，引入代數(shù)精度的概念。 定義 1 如果某個求積公式對所有次數(shù)不大于 m的多項式都精確成立，而至少對一個 m +1次多項式不精確成，則稱該公式具有 m次代數(shù)精度。 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用，由定義 1容易得到下面定理。 定理 1 一個求積公式具有 m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對 1,x,x2,…,xm 精確成立，而對xm+1不精確成立。 代數(shù)精度 (續(xù) 1） 試驗證梯形公式具有一次代數(shù)精度。 例 1 .,1.,),(2),(31d,)( .2)(2),(21d,)(.,)11(2d1,1)(, 22233 222222 一次梯形公式的代數(shù)精度為知故由定理不精確成立即公式對右端左端此時右端左端時當(dāng)公式也精確成立右端左端時當(dāng)此時公式精確成立右端左端時當(dāng)對于梯形公式解xbaababxxxxfabbaababxxxxfabababxxfbababa????????????????????????????同理可證明矩形公式的 代數(shù)精度也是一次的 代數(shù)精度（續(xù) 2） 上述過程表明，可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公 式。 例如，對于求積公式 （ 71） ，若事先選定一組求積 節(jié)點 xk (k=0,1,…, n,)， xk可以選為等距點，也可以選為非 等距點， 則可令公式對 f(x)=1,x,…, xn 精確成立，即得： 2)(7 1211110022110010???????????????????????????nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn???????? 這是關(guān)于 A0、 A … 、 An的線性方程組，系數(shù)行列式為范德蒙行列式，其值不等于零，故方程組存在唯一的一組解。求解該方程組即可確定求積系數(shù) Ak， 所得到的求積公式（ 71）至少具有 n次代數(shù)精度 。 代數(shù)精度舉例 例 2 確定求 積公式 使其具有盡可能高的代數(shù)精度。 解 求積公式中含有三個待定參數(shù)，可假定近似式（ 73）的代數(shù)精度為 m =2， 則當(dāng) f (x)=1， x， x2 時，式（ 73）應(yīng) 準確成立，即有： 代回去可得： )37()()0()()( 101 ?????? ???hfAfAhfAdxxfI hh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh????????????????????????)47()(3)0(34)(3)( ???????hfhfhhfhdxxfhh 公式 （ 74） 不僅對特殊的次數(shù)不高于 3次 的多項式 f (x) = 1,x,x2, x3準確成立，而且對任意次數(shù) 不高于 3次 的多項式 ,a0+a1x+a2x2 + a2x3 （ f (x)=1,x,x2, x3的線性組合 ）也準確成立，事實上，令 R( f )表式 （ 74） 的截斷誤差： ? ? ????? h h hfhfhhfhdxxffR ))(3)0(34)(3()()( 檢查 （ 74） 對 m = 3 是否成立 ， 為此 ， 令 f(x)=x3 代入 （ 74） ， 此時左邊 。 ? ? ,3)(3 33 右邊???? hhhh),(3)(3 44 hhhh ???? 右邊左邊再檢查（ 74）對 m=4是否成立，令 f(x)=x4代入（ 74），此時 : 因此近似式（ 74）的代數(shù)精度為 m=3. 代數(shù)精度舉例（續(xù) 1） 由于對任意的常數(shù) ?, ? 和函數(shù) f (x)， g (x) 成立 : )()()( gRfRgfR ???? ???00000)()()()1()( 332210332210???????????? xRaxRaxRaRaxaxaxaaR因此： 這表明，誤差對 f (x)=1, x, x2, x3準確成立，則對它們的任意線性組合 a0 + a1x + a2x2+ a3x3也準確成立 ， 所以通常檢查一個求積公式是否具有 m次代數(shù)精度，只需檢查對 f(x)=1,x,…, xm 是否準確成立即可。 上述方法稱為 待定系數(shù)法！ 代數(shù)精度舉例（續(xù) 2） 待定系數(shù)法注釋 注 1： 由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確 切的誤差估計式，只能從其所具有的代數(shù)精 度去判定求積公式的準確程度。 注 2： 因此，希望由待定系數(shù)法確定的求積 公式的代數(shù)精度越高越好，通常的方法是要 確定 n +1個待定系數(shù)?？稍O(shè)求積公式具有 n次 代數(shù)精度，去建立 n +1個方程求解，否則的 話，只設(shè)其具有 0次代數(shù)精度，建立 1個方程 也可以求出 n +1個待定參數(shù) . 上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的 代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。 插值型求積公式 ???nkkkn xlxfxL0)()()(其中 lk(x) 為插值基函數(shù)。取 f (x) ? Ln(x)， 則有： ? ?? ???????????????????????nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d)(d)(記： 5)(7 ),1,0( d)( nkxxlA ba kk ??? ???????nknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(則有： 設(shè)給定一組節(jié)點 a ? x0 x1 … xn1xn ? b， 且已知 f (x) 在這些節(jié)點上的函數(shù)值，則可求 得 f (x)的拉格朗日插值多項式： 插值型求積公式（續(xù)） 這種求積系數(shù)由式（ 75）所確定的求積公式稱為 插值型求積公式。 根據(jù)插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為： 其中 ??[a,b] 且與 x有關(guān)。在插值中，因 f (x) 不知道，所以無法估計插值誤差。而在這里， f (x)作為被積函數(shù)，式（ 76）卻可以用于估計積分的誤差。 6)(7 d)()!1()(d])()([ 0)1( ? ???????????bankknbannn xxxnfxxLxfIIR?插值型求積公式代數(shù)精度定理 關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有