數(shù)值計(jì)算方法(第3章)(已修改)
2025-05-25 02:07 本頁面
【正文】 向量和矩陣的范數(shù) 。該方程組的精確解為解什么樣的變化解將產(chǎn)生項(xiàng)有微小擾動(dòng)試分析系數(shù)矩陣和右端設(shè)線性方程組例Txxx),(?,201121???????????????????? ?方程組的誤差分析 解的影響不大。系數(shù)矩陣有微小擾動(dòng)對(duì)，可見解將產(chǎn)生解系數(shù)矩陣有微小擾動(dòng)設(shè)線性方程組Txxx)1,1(,20111121???????????????????? ?。該方程組的精確解為解什么樣的變化解將產(chǎn)生項(xiàng)有微小擾動(dòng)試分析系數(shù)矩陣和右端設(shè)線性方程組例Txxx)1,1(?,21????????????????????TxxxxxxxA),50( 0 0 0 0 0000 0 0 )1(~212121????????????????????????????????????，解得所以即動(dòng)設(shè)系數(shù)矩陣有微小的擾Txbxx),(9 7 0 9 8 9 0 0 0 0 0 0 )2(~21??????????????????????????? ???解得則若右端有微小變動(dòng)解的影響較大。系數(shù)矩陣有微小擾動(dòng)對(duì)可見解得則擾動(dòng)若同時(shí)對(duì)T)3(~21),(,???????????????????????xbxxAbA ? 為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性，我們需要對(duì) Rn(n維向量空間 )中的向量或 Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量， ——向量和矩陣的范數(shù)。 向量和矩陣的范數(shù) ? 在一維數(shù)軸上，實(shí)軸上任意一點(diǎn) x到原點(diǎn)的距離用 |x|表示。而任意兩點(diǎn) x1，x2之間距離用 | x1x2 |表示。 向量和矩陣的范數(shù) ? 而在二維平面上，平面上任意一點(diǎn) P(x,y)到原點(diǎn)的距離用 表示。而平面上任意兩點(diǎn) P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用 表示。 推廣到 n維空間，則稱為向量范數(shù)。 ||22 OPyx ??22122121 )()(|| yyxxPP ????向量范數(shù) 的范數(shù)。為向量則稱，都有三角不等式：對(duì)任意奇次性：時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)非負(fù)性：且滿足法則對(duì)應(yīng)于一非負(fù)實(shí)數(shù)按某一確定的設(shè)任一向量xxRRkkkRyxyxyxxxxxxxxnn||||||||||||||||,)3。| | ,| | ||||||)2。0||||00||||)1:| | ,||,3 . 3 . 1定 義??????????常見的向量范數(shù) )()||(||||)|} ({|m a x||||)()(),()||(||||||||||), . . . ,(1112121211221121Ho l d e rxC h e b y s h e vxE u c l i dxxxxxpnipipiniTniiniiTnxxxxxxxxx????????????????設(shè)向量向量范數(shù)性質(zhì) nnnnnRMmMmxxxRRxxxxxxyxyxyx????????????????||||||||||||,||||,||||R3, . . . ,||||,2121使得則必存在兩正數(shù)中定義的任意兩種范數(shù)對(duì)性質(zhì)的一致連續(xù)函數(shù)。是分量則向量范數(shù)設(shè)性質(zhì)。有對(duì)任意性質(zhì) ，向量范數(shù)性質(zhì) yxyxyxyxyxyxxxyyyyxyRn?????????????????????????????||||||yx||||||||xy||||||||y||||||||yx||||||||x||||yx||||x||||||||yx||||y||||x||1?和證明：只要證：。有對(duì)任意性質(zhì) ，向量范數(shù)性質(zhì) 結(jié)論成立。證明：的連續(xù)函數(shù)。是分量則向量范數(shù)設(shè)性質(zhì)????????????????0|)y(x|||e||m a x||e|||)y(x|||e)y(x||||yx|||| |y||||x|| |, .. .,||||,2iiiiiiiii21?nnxxxR xx向量范數(shù)性質(zhì) 等價(jià)性質(zhì)： ??????????????????????niiininiixxxnnnnnxxxxxxxxxxx11112111|||}{|m a x||||||1||||1:||||||||||||)3||||||||||||)2||||||||||||1)1例如向量的收斂性 *)(***)(***2*1*)()(2)(1)()(||||}{0||||l i ml i m,}{), .. .,2,1(l i m), .. .,(,}, .. .,{, .. .) ,2,1}({3 . 3 .2xxxxxxxxxxxkkkkkkikiknTnTknkkkknnixxRxxxxxxkR收斂到依范數(shù)則稱向量序列如果有記作依次收斂到則稱向量序列滿足如果存在其中中一向量序列設(shè)定義????????????????), . . .2,1(l i m0m a xl i m0||||l i m||||}{, . . . )2,1}({*)()(1**)(*)(nixxxxkikikikinikkkkkxxxxxx???????????????????）（事實(shí)上由。收斂到數(shù)依范的充分必要條件是坐標(biāo)收斂到依向量序列定理 矩陣范數(shù) 的一種范數(shù)。為則稱，相容性：三角不等式：，奇次性：時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)非負(fù)性且滿足應(yīng)于一非負(fù)實(shí)數(shù)若按某一確定的法則對(duì)設(shè)任意定義nnnnnnnnRARBABAABRBABABARkAkkAAAAARA??????????????????||||,)4。,||,||||||||||)3。||||||||||)2。0||||00||: | |)1:||,||,相容范數(shù) 是相容的。與此向量范數(shù)則稱該矩陣范數(shù)如果的一種范數(shù)和分別為設(shè)定義||||||||||||||||||||,||||||,||xAxAAxRRAxnnn??算子范數(shù) 且稱其為算子范數(shù)。上的矩陣范數(shù)為則定義向量范數(shù)上并在設(shè)定理,||||m a x||||||||m a x||||| | ,||,1||||0nnxxnnnnRAxxAxAxRRARx????????算子范數(shù) (證略 ) 。只有可能，因?yàn)閯t若顯然成立，定義的四個(gè)條件。所以下面只要驗(yàn)證范數(shù)的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則。到定義了所以上一定能達(dá)到最大值在有界閉集的連續(xù)性知，證明：由向量范數(shù)0,00||||,0||||0||||||||m a x||||)1||||}1{||||||||0???????????AAAAARRAAAAxxxxxxxxxnn
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