數(shù)值分析基本定理(參考版)
2025-07-28 08:43本頁面
【正文】 4 1 , 0 0 .d y d yy y y yd x d xd y d yy y y yd x d x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11 , , 1 .12 0 , , .3 , , .xyxxyxy e x? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?例 1求下列初值問題的解的最大存在區(qū)間 解 ? ?,.x ? ? ? ? ?最大存在區(qū)間是? ?1,24 s i n ,221,2xy x xx?????? ? ????? ? ? ???????( , ) ( , )yf x y f x y及? ?00( , ) ,dy f x y y x ydx ?? 00( , , )y x x y??的解? ?010y?? ??? ? ? ?0 0 0 00000( , , ) ( , , )2 , 0 .x x y x x yf x yxy???? ????01 y???證 由于? ?? ? ? ?0 0 0, , , , 1ydy f x x x y y y xdx ???00y?? ??例 2 設(shè) 在區(qū)域 G內(nèi)連續(xù)，對(duì)于 是齊次線性方程的初值問 題 的解 , 寫出解的積分表達(dá)式即知 初值問題 證明 ? ?0 0 0 00000( , , ) ( , , ),0x x y x x yf x yxy????????? ?? ? ? ?0 0 0, , , , 0ydy f x x x y y y xdx ???? ? 0yx ?? ? 0yx ? 2．由于 是齊次線性方程的初值問題 : 的解；另外 也是解 , 由解的唯一性 , 知 。 2 , 0 0 。它是x???至于? ?00,y x x y?? 是方程的解，因而? ?? ?00, ,xx f x x y? ??? ?f ?由及故有 的存在及連續(xù)性，只需注意到 的連續(xù)性即可以直接推出結(jié)論。 從而存在 0y???同理可證 存在且連續(xù)。根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的 的解，不難求得 顯然它是 的連續(xù)函數(shù)。 0000xx? ? ? ?在這里 被看成是參數(shù)。 所確定的方程的解分別為 ? ? ? ?0 0 000,xxx x xy f y f d xdxxx?? ?? ???????? 和即 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?0 0 000,xxx x xx x xxxf d x fff d xydxdxxxxx???????????????? ? ?????????????01fy? ? ?????其中 ，注意到 、和 的連續(xù)性，? ?? ? ? ?1, ,f fyyx x????? ??? ??????1 0 1 00 0 0xx?? ? ? ? ? ?其中 具有性質(zhì)： 時(shí) ，且當(dāng) 時(shí)于是 我們有 1 0? ?。 定理的證明 由 關(guān)于 y滿足局部 Lipschitz條件，因此，在定理的條件下，解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立，即 ? ?00,x x y? ?00,y x x y??00,x x y? ? ?? ? ?? ? ?0x???? ? ? ? ? ?000 0 0 0, xx y x yx ????? ? ，為足夠小的正數(shù)和? ? ? ?0 0 0 0 0, , , ,yy x x y x x x y???? ? ? ? ??? 和下面進(jìn)一步證明對(duì)于函數(shù) 的存在 先證 設(shè)由初值 范圍內(nèi)任一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù) 存在且連續(xù)。 特別地， 是 Cauchy問題 ? ?000,xx x y???? ?? ?? ? ? ?000 0 0,d z fx x y zd x yz x f x yx ???????? ???的解；而 是 Cauchy問題 ? ?000,xx x y???? ?? ?? ?000,1,d z fx x y zd x yzxx ???????? ??的解。 現(xiàn)在討論解對(duì)初值的可微性 問題的提出： 設(shè) 在 G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y滿足局部Lipschitz條件，則微分方程 ? ?,xyf? ?,dy xydx f?初值問題的解 作為 的函數(shù)是否關(guān)于 具有可微性？同樣地，設(shè) ? ?00,y x x y?? ? ?00,x x
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