【正文】 設(shè)用某種數(shù)值方法求積分 I的近似值，一般設(shè)近似值是 步長(zhǎng)的函數(shù)，記為 I1(h)， 若有相應(yīng)的誤差關(guān)系式： .),2,1(,02 3 )(7 )(2121121無(wú)關(guān)與其中 hiappphahahahIIikpkpp k?????????????????2 4 )(7 )()()()(:,22112121211???????????????kkkppkpppppkpphahahhahahahIIhh????????? 可得代替上式中的若用李查遜（ Richardson） 外推法（續(xù)） .,)()((,1)()(.),3,2)(1/()(1)()(1),1()()()( ))(()(:122112321131211211113211113132221重復(fù)上述過(guò)程收斂快比）其誤差階至少為顯然以令無(wú)關(guān)仍與其中除上式兩端得以只要取即以此式減上式乘以hIhIhOIIhIhIIhiabhbhbhbhIhIIhahahahIIhIIppppppiipkppppppppkppppppppikkk????????????????????????????????????????????????????????.,),()(),3,2(1)()()( 1111收斂愈快增大當(dāng)誤差階為 mhOIhImhIhIhImmmpmpmpmm?????????? ???? 龍貝格（ Romberg） 求積公式 回到這里的積分問(wèn)題我們可由變步長(zhǎng)公式計(jì)算復(fù)化梯形 T2m， 得到梯形序列 {T2m}， 它收斂較慢，能否由它構(gòu)造出 新的，收斂更快的序列？ 將上述 Richardson外推法 應(yīng)用到 {T2m}， 就可構(gòu)造出計(jì) 算簡(jiǎn)便，收斂卻很快的數(shù)值積分公式。這種利用若干精略近似值推算更精確的近似值的方法，稱(chēng)為 外推法 。于系數(shù)的規(guī)律性，還可由積分序列并且上述過(guò)程即是下面將要介紹的可繼續(xù)上述構(gòu)造過(guò)程：記按照上述系數(shù)規(guī)律性因此記為Ro m b e r gRRCSTRCCmmmmmmmm222222232331141144,?????????167。 例 8說(shuō)明 ????????????????????????813134)(31,9 4 6 0 8 2 ,79 4 6 0 8 3 s i n9 4 6 0 8 3 31343134)(31:)(318482221 2 821 0 4822222222233723233323SSTTTTTTTxxxTTTTTTTTTT而實(shí)際上還準(zhǔn)確這個(gè)結(jié)果比位有效數(shù)字的值相比較這是有與上這個(gè)差加到或者將)2()(31)2(34))(61)2(64)(61)(())()(21(3))(21)2()(21(23431343134:212212hShThTSbfbafafabbfafabbfbafafabTTSTT???????????????????即下面再次推導(dǎo)驗(yàn)證由 T8與 T4重新組合可 構(gòu)造 S8， 這一結(jié)果并 不是偶然，因?yàn)橛校? 例 8說(shuō)明（續(xù) 1） )(31:,)d( 122 2 ??? ? mmm TTxxfIT ba結(jié)束控制的誤差估計(jì)為近似積分若以我們將此誤差估計(jì)加到 T2m上構(gòu)成新的近似值： 在復(fù)化梯形公式逐次分半算法中： mmmmmm STTTTT 222222 11 3134)(31 ???????而在 Simpson逐次分半算法中： }{}{ 22 mm SS i m p so nT 序列構(gòu)造列亦即：可由復(fù)化梯形序(緊接下屏！ ) ? ? ? ? ? ?mmm CST 222: ?? ???? ?? 構(gòu)造構(gòu)造我們可由綜上可見(jiàn)mmmmmmmmmmCSSSSSSSSIS22222222221111511516)(151:),(151:,并且可證得到新的近似序列上補(bǔ)充到也可將此誤差補(bǔ)此誤差控制結(jié)束的誤差為近似積分若以? ? ? ? ??????????mC2由于 為復(fù)化 Cotes序列， 即由 Simpson序列可構(gòu)造出收斂更快的 Cotes序列 。作為并以。上當(dāng)前步長(zhǎng)加節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值之和乘加上新增等于一次區(qū)間時(shí)，小一半?yún)^(qū)間或稱(chēng)為加密即相當(dāng)于縮時(shí)縮小一半變?yōu)楫?dāng)步長(zhǎng)由mmmmmhTTabhabhmm2,2212211???????11222222231),(),(3)(123?????????????mmmmmmTTTfRTfRfhabTT mm ?復(fù)化梯形公式的停止計(jì)算控制 ∵ f ?(?m1) 與 f ?(?m) 是二階導(dǎo)數(shù) f ?(x) 在 [a, b]上 2m1個(gè)點(diǎn) 與 2m個(gè)點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)（每個(gè)小區(qū)間上取一個(gè)點(diǎn)）， ∴ 若 f (x) 在 [a, b] 的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則當(dāng) m較大時(shí)： )()( 1 mm ff ?? ????? ?以此作為停止計(jì)算 的控制。 梯形法的 遞推公式 abhbfafabT ????? ) ) ,()((21 )2(22)()2(2)(4)2)()2(21(2))2(212)((22],2[],2,[],[212bafabTbfbafafabbfbafabbafafabTabhbbabaaba???????????????????????????分半為、將 ,)d( ?? baxxfI對(duì)?????????????????????3122312422)(2)()((2))(21)(()(21(44,3,2,1,0 ,4,4)(3kkkkhafbfafhbfkhafafabTkkabakhaxabh再分半、加密一次區(qū)間))3()((21 ))4)(3()4((421))4)(3()4((4))4)(2(2)(2)((4222222241212hafhafhTTabafabafabTabafabafababafbfafabTT???????????????????????????，亦即即因此計(jì)算梯形序列 {T2m}可按： ?,2,1,0 ))(2)()((21212 ????? ???mkhafbfafhTmmkmm梯形公式的逐次分半算法（續(xù) 1） 梯形公式的逐次分半算法（續(xù) 1） 4 設(shè)將區(qū)間 [a , b]n等分，共有 n+1個(gè)分點(diǎn)， 如果將積分區(qū)間再等分一次，則分點(diǎn)增為 2n+1個(gè)，將 等分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來(lái)加以考察： 注意到每個(gè)子區(qū)間 ? ?1, ?kk xx經(jīng)過(guò)等分只增加了一個(gè)分點(diǎn)： )(21 121 ?? ?? kkk xxx用復(fù)化梯形公式可求得 ? ?1, ?kk xx上的積分值為 ? ?)()(2)(4 11 ?? ?? kkk xfxfxfh注意，這里 nabh ?? 代表等分前的步長(zhǎng)。 （緊接下屏） ?? 1 0 s i n dxx xI例 例 7說(shuō)明（續(xù)） 8811 2 5,0,1 3 4 1 6 31810213112)()01(1231)(,211`d)2c o s (m a x)(d)2c o s (d)c o s()(,dc o ss i n)(3221 0 1 0 10)(1 0 1 0 )(1 0 abhhhfhRxfkkdtttkntxtxftktxttxtdxdxftxtxxxfTkkxkkkkk?????????????????????????????????????因此可取時(shí)當(dāng)故：所以由于?? 要使截?cái)嗾`差不超過(guò) 103 / 2， h應(yīng)取多大？ 如對(duì)例 6，用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分 : 167。 復(fù)化求積方法又稱(chēng)為 定步長(zhǎng) 方法，要應(yīng)用復(fù) 化求積公式，必須根據(jù)預(yù)先給定的精度估計(jì)出合 適的步長(zhǎng)或 n， 進(jìn)而確定對(duì)積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，如 同例 7一樣。 [a, b]分成 n 等分，分點(diǎn)為： 在每個(gè)小區(qū)間： ],[1?kk xx上，共三個(gè)點(diǎn)： nabhnkkhax k?????),1,0( ?12/1 , ?? kkk xxx所以這里在 [0, 1]上 實(shí)際上共有 5個(gè)分點(diǎn)。 44)4(41021180)(180????? hfhRS ?即得 n ?。 ]1,0[ 1e)()( ??? ? xxf xk由復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)式： 44)4(4 1021)2(1801)()2(1801 ????? hfhRS ?若用復(fù)化 Simpson公式 由式（ 718） 1 8 )(7 ),( )()2(1 8 0)( )4(4 bafhabfR S ???? ??即得 n ?。 復(fù)化求積公式舉例（續(xù)） 若用復(fù)化求積 公式計(jì)算積分 : 的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有 四位有效數(shù)字， n應(yīng)取多大？ ? ?? 1 0 de xI x例 7 [解 ] 因?yàn)楫?dāng) 0≤x≤1時(shí)有 e1≤ex≤1于是： 1 0 ?? ?? xx要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過(guò)104 / 2。 事實(shí)上，由誤差公式（ 716）與（ 718）有 RT (f )=O(h2), RS (f )=O(h4)， 故當(dāng) h比較小時(shí)，用 復(fù)化Simpson公式 計(jì)算誤差較小。與復(fù)化 梯形公式的分析相類(lèi)似，可以證明，當(dāng) n ? ?時(shí)，用 復(fù)化 Simpson公式 所求得的 近似值收斂于積分值 ，而且算法 具 有數(shù)值穩(wěn)定性。 ])()(2)(4)([6)]()(4)([6d)(d)()]()(4)([6d)(:,],[,),1,0(,],[11102/11012/1 10 12/12/1111???? ? ???????????????????????????????????nkknkknkkkkbankxxxxkkkkkkkbfxfxfafhxfxfxfhxxfxxfxfxfxfhxxfS i m p so nxx