【正文】 算法舉例 ????0 !kkxkxe55 ? 改變算法計(jì)算例 –先計(jì)算 x= ,再求倒數(shù) n !nxn ??nkkkx0 !n 1 10 9 2 8 3 7 4 !nxn ??nkkkx0 !n 17 16 15 14 13 0 12 11 !nxn ??nkkkx0 !167。分成三組因子 ,每組只取六位小數(shù)計(jì)算 a=(有舍入 ) b=c= / = (有舍入 ) D=1. 666667* * = ?????D b c a 0 0 0 0 0 5 0 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 66????????ca??167。分子分母分別計(jì)算后相除 (取 9位小數(shù) ) A=**=* =(有舍入 ) B=**=* =(有舍入 ) ?A= ?B= 109 |1051 ||109 | 9999??????? ?? ????D? 7 6 4 ???????? DDD ??取 D= 167。 6 誤差分配原則與處理方法 51 167。 4 算法舉例 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題解的誤差估計(jì) 解： u*=有 2位有效數(shù)字 o s 2 ?????xyyfxyxfsi nc o s2????????= 50 本章內(nèi)容 ? 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題解的誤差估計(jì) ?f 48 % || ???? V VV ??? 例 已知球體的直徑 D=,按 v=?D3/6計(jì)算體積，求其絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限 22 ??????? DDV ?DV DVV ???? ? |||||| ?????? 3 ????V 33 ??????? DV?167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過(guò)小 46 ? 在各種數(shù)學(xué)模型中 , 它們的解與 x1,x2, …, xn有關(guān) ,可以記為 y=f(x1,x2,…, xn) ? 假定 f在點(diǎn) (x1,x2,…, xn )可微，則當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)，解的誤差限可估計(jì)如下： ),...,2,1(||||||||||11nixxfxxfiiniiiniii?????????? ??????其中nnnxxfxxfxxfxxxf??????????????||...|||||), . . . ,(|221121Ai 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (3) 禁止相近數(shù)相減 44 (4)當(dāng) 商運(yùn)算的 分母很小時(shí)， |Δc|可能很大 xyccyxyxyxxyxc?????????????*******1,商的真值)(0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 ????? 真值baC??? 1 0 0 0 0 0 0商的真值分子舍入誤差 放大了 106倍 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù) 真值 ? 43 (3) 兩個(gè)相近數(shù)相減，易失有效位 – 兩正數(shù)之差 C=xy的相對(duì)誤差限是 – 因?yàn)?x和 y的前幾位有效數(shù)字必然相同，相減之后有效數(shù)字位會(huì)大大減少，使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失 – 例如： cos20=， 1－ cos20= ? 避免這種情況，可以使用 轉(zhuǎn)換公式 ；或者 增加字長(zhǎng) ，維持一定有效位，保證精度。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù) 42 例如計(jì)算 采用 3位浮點(diǎn)數(shù)的截?cái)喾绞竭M(jìn)行運(yùn)算 101...31211 ?????y從左到右的次序計(jì)算得 y= 從右到左的次序計(jì)算得 y= 誤差 誤差 ?避免這種情況 ,按絕對(duì)值從小到大的次序相加。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (1)減少運(yùn)算次數(shù) 秦九昭算法 (1247) Hernor(1819) 41 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù)的情況－ 數(shù)量級(jí)相同的先運(yùn)算 在計(jì)算機(jī)內(nèi)， 做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 冪運(yùn)算 ? 冪運(yùn)算的相對(duì)誤差等于底數(shù)相對(duì)誤差的指數(shù)倍 ? 冪運(yùn)算的相對(duì)誤差限等于底數(shù)相對(duì)誤差限的指數(shù)倍 )1,0( ??? ppxc pdxpxdc p 1??xpx xpx xpxc cc pp?? ???????? 1xpxc p ??? ? 1|?c|=p|?x| 40 (1) 誤差與計(jì)算次數(shù)成正比－ 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。 解： ?C ＝ +C=?C = *= 167。 yxc ? 2yxdyy d xdc ??yyxxyxyyxxyccc???????????2?|||||||| y yx xc cc ???????167。 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 乘積運(yùn)算 ?x*,y*為準(zhǔn)確值 ,x,y為其近似值 ?絕對(duì)誤差為 :?x=xx*,?y=yy* ?絕對(duì)誤差限為 : |xx*| ? ?x , |yy*| ? ?y ?C=xy ?dC近似 ?C， dx＝ ?x， dy＝ ?y。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 加減運(yùn)算 34 167。 + ≤ *102 和 = 誤差限 沒(méi)有意義 167。 +) 和 : 4 ( 102)= 4位有效數(shù)字，舍入處理為 167。 167。 6 誤差分配原則與處理方法 29 167。 4 算法舉例 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 28 本章內(nèi)容 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 27 ? 我們希望所表示的數(shù)本身就能顯示出它的準(zhǔn)確程度，于是引入 ? 有效數(shù)字－ 反映絕對(duì)誤差限 – 有效數(shù)的絕對(duì)誤差限為最末數(shù)字的半個(gè)單位 – 由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字 ? 在講了有效數(shù)字之后，規(guī)定， 所寫出的數(shù)都應(yīng)該是四舍五入到最后一位有效數(shù)字位。 25 ? 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 –設(shè) A是精確值， a是近似值， –絕對(duì)誤差 ? ?=a－ A –絕對(duì)誤差限 ? ? |?|=|aA|?(上界 ) –相對(duì)誤差 ? ??= ?/A –相對(duì)誤差限 η ?η= ? /|A| (上界 ) –絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差有關(guān)系 ?=a ? 167。 例： 要求 x的誤差限小于 ? = 。 167。 其誤差包含了舍入誤差與原誤差 。 舍入處理為 x= 。 例： x=,其誤差限 ? ≤ 。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 例： 有效數(shù) x=15 105, ? 定點(diǎn)部分 15有 2位有效數(shù)字 ? x有 2位有效數(shù)字 ? 誤差限 ?為 0. 5 105 ? 相對(duì)誤差限 ?為 ? 有效數(shù) y= 105 ? y有 3位有效數(shù)字 551015??，誤差限 ?為 105= 103