【正文】 15?22 ? 例： 下列近似值的絕對誤差限都是 : a=， b=， c=?104 ， d=?104 ? 問：各個近似值有幾個有效數(shù)字？ ? 從小數(shù)點后第二位開始數(shù)起 ? 解： a:n=3 (1,3,8) b:n=1 (3) c:n=0（沒有有效數(shù)字 ） d:n=6（ 8,6,0,0,0,0） 167。 ? ? 兩個不同的有效數(shù) 21 ? 注 2： 浮點數(shù)的有效數(shù)字由其定點部分的有效數(shù)位確定。 例： x=, ? 如果取作 ， 則有三位有效數(shù)字 ,誤差限 。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 解： =……… 設取 n位有效數(shù)字 則： 5 10n/9≤% 10n ≤ 104 n ≥ 4 取 4位有效數(shù)字。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 0. 5 102 解： |Δ|= ||= x*有 3位有效數(shù)字。 ?由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值是有效數(shù)。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 16 ? 定義 ：如果近似數(shù) x的絕對誤差不超過某一位數(shù)字的半個單位，則稱 x準確到這一位 ； ? 從該位數(shù)字到第一位非零的所有數(shù)字均叫做 有效數(shù)字 ； ? 若共有 n位數(shù)字，則稱 x具有 n位 有效數(shù)字 。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 n位 n位 絕對誤差限 ? = 10n A=a0 a1 … am . am+1 … am+n + 0 . 0…0 am+n+1 … n位 n位 13 ? 五入情況 當 am+n+1 =5,6,7,8,9時， 取 a= a0 a1 … am . am+1 … (am+n+1) |Δ|=| a－ A |= 0 . 0 … 0 1 － 0 . 0 … 0 am+n+1 … ≤ 0 . 0 … 0 1 － 0 . 0 … 0 50... = 10n 5,6,7,8,9 167。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 絕對誤差與相對誤差 10 ? 舍入方法 : 將無限位字長的精確數(shù)處理成有限位字長近似數(shù)的處理方法 A=a0 a1 … am ? am+1 … am+n am+n+1 … 高位部分 低位部分 表示成 A=a0 a1 … am . am+1 … am+n + 0 . 0…0 am+n+1 … 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 絕對誤差與相對誤差 8 例： 計算絕對誤差與相對誤差 (1) a=*101 近似精確值 A=*101 (2) a=*103近似精確值 A=*103， 解： (1)?=， (2)?=*104， 167。 代替后誤差 21 ????????AaAaAaaA? 相對誤差限 ? |?|=|?/a | ? /|a|＝ ?(上界 ) ? 絕對誤差是有量綱的量，相對誤差沒有量綱 ,有時亦用百分比、千分比表示。 2 舍入方法與有效數(shù)字 絕對誤差與相對誤差 ? 近似數(shù) a的 絕對誤差 ? ， 設 a是精確值 A的近似值， ?=a－ A ? 絕對誤差限 ? |?|=|a－ A|?(上界 ) ? 由上式可推知 a－ ? Aa+?，也可表示為 A=a?? a? a+? a A 簡稱 誤差 7 ? 相對誤差 ? ： 絕對誤差與精確值之比 ?=?/A。 6 誤差分配原則與處理方法 5 167。 4 算法舉例 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 167。數(shù)值分析 計算機學院軟件部 王貴珍 Tel: (o)68914322,(m)13167532629 Email： Address: 中心教學樓 906（軟件教研室） 2 課程內容 第一章 數(shù)值 計算中的誤差 第二章 方程（組）的迭代解法 第三章 解線性方程組的直接解法 第四章 解線性方程組的迭代法 第五章 插值法 第六章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 3 第一章 數(shù)值計算中的誤差 4 本章內容 167。 1 計數(shù)與數(shù)值 167。 3 算術運算中的誤差 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 6 167。 ? 實際計算 ???/a。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 絕對誤差與相對誤差 ?==% ?==% 9 例： 用最小刻度為毫米的卡尺測量直桿甲和直桿乙， 分別讀出長度 a=312mm和 b=24mm， 問： (1) a、 b的絕對誤差限、相對誤差限各是多少？ (2)兩直桿實際長度 x和 y在什么范圍內？ mmbymm )( ??解： mmba )()( ?? ??% 1 )()( ??? a aa ??% )()( ??? b bb ??mmaxmm 1 2)( 1 1 ??167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 n位 11 取 a=a0 a1 … am . am+1 … am+n |Δ |＝ | a－ A | ＝ 0 . 0 … 0 am+n+1 … ≤ 0 . 0 … 0 999... 0 . 0 … 0 1=1 10－ n ? 截斷法 產(chǎn)生的絕對誤差限不超過近似數(shù) a最末位的 1個單位。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 截斷法 n位 n1位 A=a0 a1 … am . am+1 … am+n + 0 . 0…0 am+n+1 … n位 n位 12 ? 四舍情況， ? 當 am+n+1 =0,1,2,3,4時， 取 a= a0 a1 … am . am+1 … am+n |Δ |＝ |a－ A| ＝ 0 . 0 … 0 am+n+1 … ≤ 0 . 0 … 0 499... 0 . 0 … 0 5= 10n 0,1,2,3,4 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 n1位 n位 n位 n1位 絕對誤差限 ? = 10n A=a0 a1 … am . am+1 … am+n + 0 . 0…0 am+n+1 … n位 14 ? 四舍五入到小數(shù)點后第 n位的方法 : |Δ| ≤ 10n ? = 10n ? 結論： 凡是由 準確值 經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 15 ? 例： 設 a= b= x和 y經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，問 : a、 b的絕對誤差限、相對誤差限各是多少？ 0 )( ????a?解： 0 0 0 )( ????b?% )()( ??? a aa ??%0 0 2 2 0 0 0 0 0 )()( ??? b bb ??167。 ? 若近似數(shù) x的絕對誤差不超過最末一位的半個單位，則稱 x為 有效數(shù) 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 ? 推論 1 對于給出的 有效數(shù) ，其絕對誤差限不大于其最末數(shù)字的半個單位。 17 ? 例： 設 x*= x=，則 x*有幾位有效數(shù)字？ 167。 18 )(001021|101021| nmmnaa????????? 推論 2 有效數(shù)的 相對誤差限為 |...1010102