數(shù)值分析基本定理-展示頁
2025-08-03 08:43本頁面
【正文】 ? ? ? ?22 21 0 1 0x x y y ?? ? ? ?上關(guān)于 y滿足 Lipschitz條件，由上面 必能 ，這時(shí)必有 因?yàn)榉駝t設(shè) ，則由引理就有 注意到 是連續(xù)的，對(duì)于 存在，使當(dāng) 。 的距離 有界覆蓋 ?,D G?? ?,f x y D在? ? ? ?,ab? ? ? ? ???? ?00,xy? ? ? ?22 21 0 1 0x x y y ?? ? ? ?? ? ? ?11,x x y xy ?? ?? a x b??則以 S上每一點(diǎn)為中心，以 為半徑的圓的全體， 且 其次，我們斷言，必存在這樣的正數(shù) 使得只要 滿足不等式 則解 必然在區(qū)間 上也 有定義。令 與 S 。 ? ?,f x y? ? ? ?0 0 0 0, , , ,x y G y x x y???00()y x y?a x b??0()a x b?? 0,? ?? ?,ab? ? ??? ? ? ?22 21 0 1 0x x y y ?? ? ? ?11()y x y?? ?11,y x x y?? a x b??? ? ? ?1 1 0 0, , , , ,x x y x x y a x b? ? ?? ? ? ?定理 （解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理） 假設(shè)函數(shù) 在某個(gè)區(qū)域 G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y滿足局部 是方程（ ） 的解，它于區(qū)間 上有定義 ，那么，對(duì)于任給的 必能找到正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，方程（ ）滿足條件 的解 在區(qū)間 上也有定義，并且 Lipschitz條件， 滿足初始條件 ? ? ? ?00, , ,x x y xy a x b?? ?? ? ?? ?,xy ,C C G?? ?,f x y? ?1 , 2 , ,i iNC ?iirC為圓周 ? ?,iiL f x y C表示 于1, ,N iiSG C G G G????則有 且0? ? 0? ?? ? ? ?1 2N,m i n , / 2 m a x , ,L L L L? ? ??? 及證明 首先，因?yàn)榉e分曲線段 S： 是 xy平面上的有界閉集，又按假定對(duì) S上每一點(diǎn) 必存在一個(gè)以它為中心的開圓 使在 C內(nèi) 滿足 Lipschitz條件。 ? ?? ? ? ? ? ?? ?22= 2 L 0L x L xd w x e w x w x edx ?? ? ?? ?0 ,x a b?? ?0200( ) ( ) ,L x xw x w x e x x b?? ? ?0axx?? xt?? 00xt??? ?,dy f t ydx ? ? ?? ? ? ?y t y t??? ? ? ?和。 ? ?,f x y? ? ? ?xx??和? ? ? ? ? ? ? ? ? ?000 L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ?0x? ? ? ?xx??和? ? ? ? 2()w x x x a x b????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?39。內(nèi)容包括：當(dāng)初值發(fā)生小的變化時(shí)，所得到的解是否仍在 上有定義以及解在整個(gè)區(qū)間 上是否也變化很??？ 問題 2 解在某個(gè)無限閉區(qū)間，如 上有 定義，討論初值 的微小變化是否導(dǎo)致解在 上由定義以及解在整個(gè)區(qū)間 上變化很小？這種問題稱為解的穩(wěn)定性問題，將在第六章中討論。 前面的討論告訴我們，解一般是依賴于初值的。 解對(duì)初值的對(duì)稱性 設(shè)方程（ ）的滿足初始 的解是唯一的，記為 則在此表達(dá)式中， 可以調(diào)換其相 顯然，假如 的解也將隨之變動(dòng)，也就是初值問題的解不但依賴于自變量 x，同時(shí)也依賴于初值 ，因 函數(shù)而記為 條件 與 到現(xiàn)在為止，我們把初值 對(duì) 位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式 ? ?00 ,y x x y??1x? ?1 1 0 0,y x x y?? ? ?11,xy? ?00,xy? ?11,y x x y??? ?0 0 1 1,y x x y?? ? ?11,xy? ?00 ,y x x y??? ?,xy 事實(shí)上，在上述解的存在區(qū)間內(nèi)任取一值 ， 且記 ，則由解的唯一性知過點(diǎn) 的解與過點(diǎn) 的解是同一條積分曲線，即此 并且顯然有 。? ?00,xy? ?00,xy? ?00,xy? ?00,y x x y?? ? ?0 0 0 0,y x x y??? ?00y x y? ? ?00,y x x y??? ?,xy ? ?00,xy 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理 看成是固定的。 變動(dòng)，則相應(yīng)的初值問題 此，在考慮初值變動(dòng)時(shí)，解可以看作三個(gè)變?cè)? 它滿足 下面我們著重討論解關(guān)于初值的一些性質(zhì)。注意點(diǎn) 是積分曲線上的任意一點(diǎn)，所以關(guān)系式
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