【正文】 證： (充分性 ) 設(shè)求積公式（ 71）至少具有 n次代數(shù)精度， 那么，由于插值基函數(shù) li(x) (i=0,1,…, n)均是次數(shù)為 n的 多項式，故式（ 71）對 li(x)精確成立，即 : 定理 2（續(xù)） (必要性 ) 設(shè)求積公式（ 71）是插值型的，則對所有次數(shù)不大于 n的多項式 f (x)， 按（ 76）其求積余項 Rn = 0， 即公式是精確成立的。 具有 n +1個節(jié)點的數(shù)值求積公式（ 71）是插值型求積 公式的充分必要條件是該公式至少具有 n次代數(shù)精度。而在這里， f (x)作為被積函數(shù)，式（ 76）卻可以用于估計積分的誤差。 根據(jù)插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為： 其中 ??[a,b] 且與 x有關(guān)。 插值型求積公式 ???nkkkn xlxfxL0)()()(其中 lk(x) 為插值基函數(shù)。 注 2： 因此，希望由待定系數(shù)法確定的求積 公式的代數(shù)精度越高越好，通常的方法是要 確定 n +1個待定系數(shù)。 ? ? ,3)(3 33 右邊???? hhhh),(3)(3 44 hhhh ???? 右邊左邊再檢查（ 74）對 m=4是否成立，令 f(x)=x4代入（ 74），此時 : 因此近似式（ 74）的代數(shù)精度為 m=3. 代數(shù)精度舉例（續(xù) 1） 由于對任意的常數(shù) ?, ? 和函數(shù) f (x)， g (x) 成立 : )()()( gRfRgfR ???? ???00000)()()()1()( 332210332210???????????? xRaxRaxRaRaxaxaxaaR因此： 這表明，誤差對 f (x)=1, x, x2, x3準確成立，則對它們的任意線性組合 a0 + a1x + a2x2+ a3x3也準確成立 ， 所以通常檢查一個求積公式是否具有 m次代數(shù)精度，只需檢查對 f(x)=1,x,…, xm 是否準確成立即可。 代數(shù)精度舉例 例 2 確定求 積公式 使其具有盡可能高的代數(shù)精度。 例如，對于求積公式 （ 71） ，若事先選定一組求積 節(jié)點 xk (k=0,1,…, n,)， xk可以選為等距點，也可以選為非 等距點， 則可令公式對 f(x)=1,x,…, xn 精確成立，即得： 2)(7 1211110022110010???????????????????????????nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn???????? 這是關(guān)于 A0、 A … 、 An的線性方程組，系數(shù)行列式為范德蒙行列式，其值不等于零，故方程組存在唯一的一組解。 代數(shù)精度 (續(xù) 1） 試驗證梯形公式具有一次代數(shù)精度。為了便于應用，由定義 1容易得到下面定理。 定義 1 如果某個求積公式對所有次數(shù)不大于 m的多項式都精確成立，而至少對一個 m +1次多項式不精確成，則稱該公式具有 m次代數(shù)精度。 代數(shù)精度 數(shù)值積分是一種近似方法，但其中有的公式能對較多 的函數(shù)準確成立，而有的公式只對較少的函數(shù)準確成立。便于上機計算。 圖 71 a b ξ )(xfy ?)(?f構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù)） 如，用兩端點的函數(shù)值 f (a)與 f (b)取算術(shù)平均值作為平均 高度 f (?)的近似值，這樣可導出求積公式： 中矩形公式取梯形公式 2)()( ,2 ))()((2)( ?????? ?????????????bafabdxxfIbabfafabdxxfIbaba? 更一般地，可以在區(qū)間 [a, b] 上適當選取某些點 xk (k=0,1, …, n)， 然后用 f (xk) 的加權(quán)平均值近似地表示 f (?)， 這樣得到一般的求積公式： 1)(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfI ??? ???其中，點 xk 稱為求積節(jié)點，系數(shù) Ak 稱為求積系數(shù)， Ak 僅僅與節(jié)點 xk 的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù) f (x)的具體形式，即 xk決定了， Ak也就相應的決定了。 由積分中值定理，對連續(xù)函數(shù) f (x)， 在區(qū)間 [a, b] 內(nèi)至少 存在一點 ?，使： )()()( ?fabdxxfI ba??? ? 也就是說，曲邊梯形的面積 I 恰好 等于底為 （ ba） ， 高為 f (?)的規(guī)則圖 形 — 矩形的面積（圖 71）， f (?)為曲 邊梯形的平均高度，然而點 ?的具體位置一般是不知道的， 因此難以準確地求出 f (?)的值。 1 數(shù)值積分的基本概念 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想 定積分 I=∫ab f (x)dx在幾何上為 x=a, x=b, y=0和 y=f (x)所 圍成的曲邊梯形的面積。 同樣，對函數(shù) f (x)求導，也有類似的問題，需要研究數(shù)值微分方法。 序 (2) 3. f (x) 的結(jié)構(gòu)復雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。 6 高斯（ Gauss） 型求積公式 167。 4 變步長方法（逐次分半算法 ） 梯形公式的逐次分半算法 Simpson公式的逐次分半算法 167。 2 牛頓一柯特斯（ NewtonCotes） 公式 NC求積公式的余項 167。第七章 數(shù)值積分 與 微 分 （上） 第七章目錄 167。 1 數(shù)值積分的基本概念 167。 3 復化求積公式 Simpson公式與復化 Cotes公式 第七章目錄 167。 5 龍貝格（ Romberg） 求積公式 Romberg求積公式 167。 7 數(shù)值微分 序 (1) 計算定積分 的值是經(jīng)常遇到的一個問題， 由微積分理論知道：只要求出 f (x)的一個原函數(shù) F(x)， 就可以利用牛頓 — 萊布尼慈（ NewtonLeibniz） 公式 出定積分值： ? ba xxf d)(? ??? ba aFbFdxxfI )()()( 但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實際使用上述求積分方法 時，往往會遇到下面情況： 1. 函數(shù) f (x)沒有具體的解析表達式，只有一些由實驗 測試數(shù)據(jù)形成的表格或 圖形。 等32 1,ln 1,s i n,s i n)( 2 xxxex xxf x ?? ?2. f (x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如： 由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計算 方法，進而建立起上機計算定積分的算法，此外，數(shù)值積分也是研究微分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。 167。定積分計算之所以困難，就在于 這個曲邊梯形中有一條邊 y=f (x)是曲邊，而不是規(guī)則圖形。但是，由此可以得到這樣 的啟發(fā)，只要能對平均高度 f (?)提供一種近似算法，便可 以相應地得到一種數(shù)值求積公式。 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù) 1） 回顧定積分的定義，積 分值 I 是和式的極限： ????????????nkkkxM a xnbaxxfdxxfIknk00 )(lim)(0或 其中 ?xk是 [a, b] 的每 一個分割小區(qū)間的長度，它與 f (x)無關(guān)，去掉極限，由此 得到近似計算公式： ?????????nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00 )()()(因此，式（ 71）可作為一般的求積公式，其特點是將積分問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算，從而避開了使用 牛頓一萊布尼慈公式 需要求原函數(shù)的困難，適合于函數(shù)給出時計算積分，也非常便于設(shè)計算法。 求積公式 （ 71） 的截斷誤差為： ????????nkkkbannxfAdxxfIIRfR0 )()()(Rn也稱為 積分余項 。 為了反映數(shù)值積分公式在這方面的差別，引入代數(shù)精度的概念。 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。 定理 1 一個求積公式具有 m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對 1,x,x2,…,xm 精確成立，而對xm+1不精確成立。 例 1 .,1.,),(2),(31d,)( .2)(2),(21d,)(.,)11(2d1,1)(, 22233 222222 一次梯形公式的代數(shù)精度為知故由定理不精確成立即公式對右端左端此時右端左端時當公式也精確成立右端左端時當此時公式精確成立右端左端時當對于梯形公式解xbaababxxxxfabbaababxxxxfabababxxfbababa????????????????????????????同理可證明矩形公式的 代數(shù)精度也是一次的 代數(shù)精度（續(xù) 2） 上述過程表明，可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公 式。求解該方程組即可確定求積系數(shù) Ak， 所得到的求積公式（ 71）至少具有 n次代數(shù)精度 。 解 求積公式中含有三個待定參數(shù)，可假定近似式（ 73）的代數(shù)精度為 m =2， 則當 f (x)=1， x， x2 時，式（ 73）應 準確成立，即有： 代回去可得： )37()()0()()( 101 ?????? ???hfAfAhfAdxxfI hh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh????????????????????????)47()(3)0(34)(3)( ???????hfhfhhfhdxxfhh 公式 （ 74） 不僅對特殊的次數(shù)不高于 3次 的多項式 f (x) = 1,x,x2, x3準確成立，而且對任意次數(shù) 不高于 3次 的多項式 ,a0+a1x+a2x2 + a2x3 （ f (x)=1,x,x2, x3的線性組合 ）也準確成立，事實上，令 R( f )表式 （ 74） 的截斷誤差： ? ? ????? h h hfhfhhfhdxxffR ))(3)0(34)(3()()( 檢查 （ 74） 對 m = 3 是否成立 ， 為此 ， 令 f(x)=x3 代入 （ 74） ， 此時左邊 。 上述方法稱為 待定系數(shù)法！ 代數(shù)精度舉例（續(xù) 2） 待定系數(shù)法注釋 注 1： 由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確 切的誤差估計式，只能從其所具有的代數(shù)精 度去判定求積公式的準確程度?？稍O(shè)求積公式具有 n次 代數(shù)精度，去建立 n +1個方程求解，否則的 話，只設(shè)其具有 0次代數(shù)精度，建立 1個方程 也可以求出 n +1個待定參數(shù) . 上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的 代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。取 f (x) ? Ln(x)， 則有： ? ?? ???????????????????????nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d)(d)(記： 5)(7 ),1,0( d)( nkxxlA ba kk ??? ???????nknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(則有： 設(shè)給定一組節(jié)點 a ? x0 x1 … xn1xn ? b， 且已知 f (x) 在這些節(jié)點上的函數(shù)值