【文章內容簡介】 ENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 依次把后式代入前式，最后得 其中：最后一項中 , 差商部分含有 x,為余項部分 ,記作 Rn(x)；而前 n+1項中 , 差商部分都不含有x ,因而前 n+1項是關于 x 的 n次多項式 ,記作 Nn(x)。 )(],[)()](,[))(](,[)](,[)()(101010102100100xxxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxfnnnn??????????????????理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 可見 , Nn(x)為次數(shù)不超過 n 的多項式 ,且易知 Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …, n) 滿足插值條件 , 稱 Nn(x)為 牛頓均差插值多項式 。 由插值多項式的唯一性知 :Ln(x) ?Nn(x) ( ) ( ) ( )nnf x N x R x??0 0 1 0 0 1 2 0 10 0 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , ] ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ?0 0 1( ) [ , , , ]( )( ) ( )n n nR x f x x x x x x x x x? ? ? ?即： 理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 余項公式 )()](,[)( 010 nnn xxxxxxxxfxR ??? ??1. 牛頓插值多項式的遞推形式 )()](,[)()( 1001 ?? ???? nnnn xxxxxxfxNxN ??注 ： 2. 牛頓插值多項式可記為 )(],[)(],[)()()(1021010xxxfxxxfxxfxNnnn?????????? 其中 1)(1 ＝x?理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 3. 牛頓插值公式的余項與 f ( x ) 有關，由于f ( x ) 的值不在表中（它正是我們要計算的），所以],[10 nxxxxf ?無法精確計算的。但在以后造差商表時，若 k 階差商近似為某個常數(shù)，則 k ＋ 1 階差商近似為零 ，此時可以認為)()( xfxNk?。同時，根據(jù)差商表，可近似估計插值余項 )(],[)()()(111xxxfxNxfxRkkkk ????? ?? 理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 三、拉 格朗日插值與牛頓插值的比較 （ 1） 與 均是 n次多項式 ,且均滿足插值條件 : 由插值多項式的唯一性 , ,因而兩個公式的余項是相等的 ,即 ()nLx ()nNx( ) ( ) ( ) , 0 , 1 , ,n k n k kL x N x f x k n? ? ?( ) ( )nnL x N x?)()!1( )()(],[ 1)1(110 xnfxxxxxfnnnn ??? ?? ????理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 則可知 n 階差商與導數(shù)的關系如下（性質 2）： ()01()[ , , , ] , [ , ]!nnff x x x a bn??? ? （ 2）當插值多項式從 n1 次增加到 n 次時 , 拉格朗日型插值必須重新計算所有的所有的插值基 函數(shù) 。而對于牛頓型插值 ,只需用表格再計算一個 n 階差商 ,然后加上一項即可。節(jié)省計算量，便于編程。 （ 3）牛頓型插值余項公式對是由離散點給出 或導數(shù)不存在時均適用。因此更具一般性。 理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 五、數(shù)值實例 例 1 根據(jù)下表建立不超過三次的拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式，并驗證插值多項式的唯一性。 x 0 1 2 4 f(x) 1 9 23 3 例 2 教材 P24例 理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 五階差商 xi f(xi) 理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 解 從均差表看到四階均差近似常數(shù)。故取四次牛頓插值多項式 N4(x)做近似即可 9550444)5 9 (],[)( 6 3 1 9 )5 9 ()5 9 ( ))()()((0 3 1 3 ))()((1 9 7 3 ))(()(1 1 1 0 7 )(??????????????????????xxfxRNfxxxxxxxxxxxN?截斷誤差于是理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 第五節(jié) 差分與等距節(jié)點插值公式 ? 差分及其性質 ? 等距節(jié)點的 Newton向前插值公式 ? 等距節(jié)點的 Newton向后插值公式 ? 數(shù)值實例 理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 一、差分及其性質 設插值節(jié)點為等距節(jié)點： 如右圖所示 h稱為步長，函數(shù) 在節(jié)點處的函數(shù)值記為 0 01, , , ,kx x k h k n? ? ?? ?y f x?? ? .kkf f x?0x 1x nx1?nxh h h1 x2理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 一階向前差分： 1k k kf f f?? ? ?（一） 差分的概念 21 2 1 1( ) ( )k k k k k k kf f f f f f f? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?二階向前差分： 注 ： Δ 稱為向前差分算子，▽表示向后差分算子。各階差分可用下表表示。 111n n nk k kf f f???? ? ? ? ?n 階向前差分： 同理可定義二階、 n 階向后差分 一階向后差分： 1???? kkk fff理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 函數(shù) 值 一階 差分 二階 差分 三階 差分 四階 差分 ... f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) ... ?f0 ?f1 ?f2 ?f3 ... ?2f0 ?2f1 ?2f2 ... ?3f0 ?3f1 ... ?4f0 ... ... (?f1) (?f2) (?f3) (?f4) (?2f2) (?2f3) (?2f4) (?3f3) (?3f4) (?4f4) ... 理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 除差分算子外，常用的算子符號還有： 不變算子 I : 。移位算子 E ： 由上面各種算子的定義可得算子間的關系： 由 可得 kkIf f? 1kkE f f ??1 ()k k k k k kf f f E f I f E I f?? ? ? ? ? ? ?.EI? ? ?同理可得 1??? EI＝理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 （二）差分的性質 （步長均為 h） 性質 1: 各階差分均可用函數(shù)值表示。 00( ) ( 1 ) ( 1 )nnn n j n j jk k k n k jjjnnf E I f E f fjj?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???100( ) ( 1 ) ( 1 )nnn n n j j n n jk k k k j njjnnf I E f E f fjj? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???理 學 院 Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS 2.?? 數(shù)值分析 第二章 插值法 李慶揚 王能超 易大義編 性質 3: 各種差分之間可以互化。如 mmk k mff ?? ? ?性質 4 111[ , , , ]!1[ , , , ]