[教育學]第一章常用數(shù)值分析方法1673插值法與曲線擬合(編輯修改稿)
2024-11-10 10:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 關系式 y=f(x) — 偏差 Ri = iRT m ax?盡可能最小 21niiDR???盡可能最小 限制條件 (3個 ) 最小二乘法 )( im xp理論計算值（擬合函數(shù)值） 試驗測定值 iy函數(shù)的最佳一致逼近 概述 盡可能最小 1niiAR?? ? 12:28 2021/11/10 15/37 最小二乘技術 010100 1 12 2 2 0mjjinmjjj i iijkknmj k kj i i iijm n nj k kj i i ij i iaxDa x yaaa x y xa x y x???????? ? ?????????? ? ?????????????? ? ?????????? ? ? ???????????????? ? ?? ??? ?? ???????? ??? niimjjijnii yxaRD02002 最小 多元函數(shù)的極值問題 問題轉(zhuǎn)化 曲線擬合 0???kaD ( k = 0 , 1 , 2 , … , m ) 12:28 2021/11/10 16/37 0 1 1m n nj k kj i i ij i ia x y x?? ? ?????????? ? ??????????????????????????????mmmmmmmmmmmmmtasasasastasasasastasasasastasasasas???????221100222221210201121211101000202101000 skj tk ??mjja0= ( k = 0 , 1 , 2 , … , m ) 問題轉(zhuǎn)化 多元函數(shù)的極值問題 曲線擬合 解多元線性方程組 問題轉(zhuǎn)化 解方程組之前 ？ m 的確定 略 12:28 2021/11/10 17/37 多項式的次數(shù)（ m）的確定 初設 m=1 擬合多項式 計算各節(jié)點偏差 Ri ??iRm a x合理，輸出結果 Yes No m=m+1 解 m 元 線性方程組 最小二乘法 ε為預先選定的一個足夠小的正數(shù) 12:28 2021/11/10 18/37 多項式擬合舉例 例 1 設在某材料的熱膨脹系數(shù)試驗中，測得一批數(shù)據(jù)如表 所示，希望用一簡單公式表示這些數(shù)據(jù)的關系。 T(K) 405 420 436 452 471 495 ΔL() 0 表 熱膨脹系數(shù)試驗數(shù)據(jù) 解 ：由數(shù)據(jù)之間的關系和我們已知的材料熱膨脹規(guī)律可知，這些點大體上分布在一條直線上，因此可用線性式表示為： bTaL ???如果我們將上述六組數(shù)據(jù)代入上式，可得： 4 0 5 0ab?? 4 2 0 0 .6ab?? 4 3 6 1 . 1ab??4 5 2 1 . 8ab?? 4 7 1 2 . 4ab?? 4 9 5 3 . 1ab?? 12:28 2021/11/10 19/37 顯然，上述方程組中只有兩個未知參數(shù)，任取兩個方程即可解出 a, b。其幾何意義就是任選兩點，連成一線，故該法又稱“ 選點法 ”。然而，由于試驗誤差的存在，這些點并不會在同一條直線上，因此隨著選點不同， 得到的 a, b的值也有差異 ，如： 選 2點得： 選 5點得： 4 0 5 04 2 0 0 .6abab???????解之得： ab??????4 5 2 1 . 84 7 1 2 . 4abab???????解之得： 1 2 .4 70 .0 3 1 6ab?????? 造成上述不同結果的 原因 是當試驗觀測點數(shù)大于待定參數(shù)的個數(shù)時，代入所有點數(shù)據(jù)將出現(xiàn)一個矛盾方程組，選點法并未充分利用所有試驗數(shù)據(jù)，故結果不可靠；而用曲線擬合法，則可避免該問題。 12:28 2021/11/10 20/37 bTaL ???仍設試驗數(shù)據(jù)滿足直線關系： 用前面介紹的最小二乘法進行曲線擬合，此處是最簡單的一元線性擬合 。 （ 1）用最小二乘法（偏導）分析或直接用前面介紹的公式寫出最小二乘法得到的線性方程組的系數(shù)表達式： 611611 ( , 0 , 1 ) ( 0 , 1 )nj k j kjk i iiinkkk i i i iiiS T T j kt L T L T k??????? ? ?? ? ? ? ?????6 6 60 1 20 0 0 1
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