【文章內(nèi)容簡介】 的另一種表示形式 ,與拉格朗日插值多項式相比較 ， 不僅克服了 “ 增加一個節(jié)點時整個計算機工作必須重新開始 ” ﹙ 見例 1﹚ 的缺點 ， 而且可以節(jié)省乘 ﹑除法運算次數(shù) 。 同時 ， 在牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念 ， 又與數(shù)值計算的其它方面有著密切的關(guān)系 . 向前差分與牛頓插值公式 設(shè)函數(shù) ?﹙ x﹚ 在等距節(jié)點 處 的函數(shù)值 為已知，其中 h是正常數(shù)，稱為 步長 ， 稱兩個相鄰點 和 處函數(shù)值之差 為函數(shù) ?﹙ x﹚ 在點 處以 h為步長的 一階向前差分 ﹙ 簡稱一階差分 ﹚ ，記作 ，即 于是，函數(shù) ?﹙ x﹚ 在各節(jié)點處的一階差分依次為 又稱一階差分的差分 為 二階差分 。 ? ?xNn ? ?xPn? ?nkkhxx k ,1,00 ????? ? kk yxf ?1?kx kk yy ??1kxky?kkk yyy ??? ? 1。11121010 , ?? ????????? nnn yyyyyyyyy ?? ? kkkk yyyy ???????? ? 12kx27 kmkmkm yyy 111 ??? ?????一般地 ， 定義函數(shù) ?﹙ x﹚ 在點 處的 m階差分 為 為了便于計算與應(yīng)用 ， 通常采用表格形式計算差分 ， 如 表 21所示 。 表 21 xk yk yk? yk?2 yk?3 yk?4x0x2x3x4x1y0y1y2y3y4y? 0y? 1y? 2y? 3y02?y12?y22?y03?y13?y04?kx28 在等距節(jié)點 情況下 ， 可以利用差分表示牛頓插值多項式 ﹙ ﹚ 的系數(shù) ， 并將所得公式加以簡化 。 事實上 ，由插值條件 立即可得 再由插值條件 可得 由插值條件 可得 一般地 ， 由插值條件 可得 ? ?? ?? ? 2020121202020022 !222hyhhyyyxxxxhxxyyya ?????????????),1,0(0 nkkhxx k ????? ? 00 yxN n ? 00 ya ?? ? 11 yxN n ?hyxxyya 001011?????? ? kkn yxN ?? ? 22 yxN n ?29 于是 ， 滿足插值條件 的插值多項式為 令 ,并注意到 ， 則可簡化為 這個用向前差分表示的插值多項式 ， 稱為 牛頓向前插值公式 ，簡稱 前插公式 。 它適用于計算表頭 附近的函數(shù)值 。 由插值余項公式 ﹙ ﹚ ， 可得前插公式的余項為： ),2,1(! nkhk ya kokk ?????? ? iin yxN ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?110010202000!!2?????????????????nnnnxxxxxxhnyxxxxhyxxhyyxN??)0(0 ??? tthxx khxx k ?? 0? ? ? ?? ? ? ?002000!11!21ynntttyttytythxNnn???????????????0x﹙ 3﹒ 2﹚ 30 （ ) 例 4 從給定的正弦函數(shù)表 ﹙ 表 22左邊兩列 ﹚ 出發(fā)計算 ,并估計截斷誤差。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ),(,!11 0110 nnnn xxfhn ntttthxR ?? ???? ?? ???)(表 2— 2 x xsin y? y?2 y?3 31 解 因為 ，故取 ，此時 。為求 , 構(gòu)造差分 表 2— 2。表中長方形框中各數(shù)依次為 在 處的函數(shù)值和各階差分。若用線性插值求 sin﹙ ﹚ 的近似值，則由前插公式 ﹙ ﹚ 立即可得 用二次插值得 用三次插值得： ?x ????? h xxt?yyy 03020 , ??? ?x)() i n ( 1 ????? N)()(2)()() i n (12????????????NNxsin32 因 很接近，且由差分 表 2— 2可以看出，三階差分接近于常數(shù)（即 接近于零），故取 作為 的近似值，此時由余項公式 （ ） 可知其截斷誤差 向后差分與牛頓向后插值公式 在等距節(jié)點 下， 除了向前差分外，還可引入向后差分和中心差分，其定義和記號分別如下： 在點 處以 h為步長的 一階向后差分 和 m階向后差分 分別為 )(? ? ? ? ? ?1 1 97 0 0 09 6)()() i n (23??????????NN)()( 23 NN 與04y? )(3 ?N? ?xfy ?kx) i n()(24 )()()()( 43 ??????????R),1,0(0 nkkhxx k ????33 在 點處以為步長的一階中心差分和 m階中心差分分別為 其中 各階向后差分與中心差分的計算 ， 可通過構(gòu)造向后差分表與中心差分表來完成 ?參見 表 2－２ ?。 利用向后差分 ， 可簡化牛頓插值多項式 （ ３ .1） ， 導(dǎo)出與牛頓前插公式 ??類似的公式 ， 即 ， 若將節(jié)點的排列次序看作 ，那么 ?３ .1)可寫成 ? ?xfy ? kx),3,2(2112112121????????????myyyyyykmkmkmkkk????.2,22121 ?????? ???????? ????hxfyhxfykkkk01, xxx nn ??),3,2(1111??????????????myyyyyykmkmkmkkk34 根據(jù)插值條件 , 可得到一個用向后差分表示的插值多項式 其中 t0，插枝多項式 ()稱為 牛頓向后插值公式 ，簡稱后插公式。它適用于計算表尾 附近的函數(shù)值。由插值余項公式 （２ .9） ，可寫出后插公式的余項 () ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?111210xxxxxxbxxxxbxxbbxNnnnnnnn???????????????? ? )0,1,1,( ???? nniyxN iin? ?? ?? ? ? ?nnnnnnnynntttyttytythxN?????????????!11!21 2??nx35 () 例５ 已知函數(shù)表同例４，計算 ，并估算截斷誤差。 解 因為０ .58位于表尾 附近，故用后插公式 （ ） 計算sin()的近似值。 一般地為了計算函數(shù)在 處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，對同一函數(shù)表來說，構(gòu)造出來的向后差分表與向前差分表在數(shù)據(jù)上完全相同。因此，表２ ２ 用“ —— ”線標(biāo)出的各數(shù)依次給出了 在 處的函數(shù)值和向后差分值。因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進行計算，且 ，于是由后插公式 （ ） 得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )),((!11 011 nnnnn xxfhn ntttthxR ?? ???? ?? ???)( ?x5xxsin 5 ?x)(/)( 5 ?????? hxxt36 因為在整個計算中，只用到四個點 上的函數(shù)值，故由余項公式 （３ .5） 知其截斷誤差 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? 5 48 0 00 9 60 04 8 2??????????????????, ，?x? ? ? ? in 3N?? ? 0 8 5 2 6 4 6 ????? ? ? ? 0 0 0 0 0 4 ???? ? ? ? ? ? ? ?24 ???????????R37 差商與牛頓基本插值多項式 當(dāng)插只節(jié)點非等距分布是，就不能引入差分來簡化牛頓插值多項式，此時可用差商這個新概念來解決。 設(shè)函數(shù) 在一串互異的點