數(shù)值分析第二章ppt課件(編輯修改稿)
2024-11-30 22:12 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 j j k kjkx b ax b a x a k n n?????? ? ? ? ??????順序高斯消去法求解 n 元線性方程組的乘除運(yùn)算總次數(shù)為 32( 3 ) / 3n n n???順序高斯消去法計(jì)算過程中出現(xiàn)的 稱為 主元素 . 出現(xiàn) 消元過程就進(jìn)行不下去了 . ()kkka() 0kkka ??即使 detA ≠0， 也可能對(duì)某個(gè) k n， 出現(xiàn) . 下面的定理給出了避免出現(xiàn)這種情況的條件。 () 0kkka ?定理 順序高斯消去法的前 n?1 個(gè)主元 均不為零的充要條件是 Ax ? b 的系數(shù)矩陣 A 的前 n ?1個(gè)順序主子式 ()kkka( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 1 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )120 ( 1 , 2 , .. ., 1 ) .kkkk k k ka a aa a aD k na a a? ? ? ?證 因?yàn)?, 第 k 個(gè)順序主子式 Dk 等于前 k 個(gè)主元之積 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )1 1 2 2 .kk k kD a a a?例子 此式 解釋 又第 k 個(gè)主元被順序主子式所確定 : ( 1 )11 1()1,/ , 2 , 3 , .. ., .?? ??? ???? kk k k kaDa D D k n?注解 ： 方程組 () 的系數(shù)矩陣 A 的 n 個(gè)順序主子式 Dk 均不為零 ，保證了主元均不為零 , 使順序消去法得以進(jìn)行。 但，當(dāng)遇到某個(gè)主元的絕對(duì)值很小時(shí)，將使 行乘數(shù) mik 的絕對(duì)值很大，則舍入誤差的積累會(huì)很大，計(jì)算出的近似解會(huì)有很大的誤差。 順序高斯消去法的數(shù)值穩(wěn)定性是沒有保證的 ! ?順序主元消去法可能計(jì)算失敗之例 例： 單精度解方程組 ????????211021219xxxx/* 精確解為 和 */ ...1 0 00...101191?????? ?x8個(gè) . . .8 9 99. . . 12 ?????? xx8個(gè) 用 Gaussian Elimination計(jì)算： 9112121 10/ ?? aam? 9992122 10101010... ???????? ?ma8個(gè) 9212 1012 ????? ?mb?????? ????9991010011100,1 12 ??? xx
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