數(shù)值分析第一講誤差(編輯修改稿)
2025-05-26 08:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)值分析 數(shù)值分析中的基本概念： 誤差 數(shù)值分析 誤差的來(lái)源 現(xiàn) 實(shí) 世 界 研究 對(duì)象 測(cè)量 數(shù)據(jù) 數(shù)學(xué)模型的建立 數(shù)值計(jì)算方法 程序設(shè)計(jì) 測(cè)量 誤差 模型誤差 截?cái)嗾`差(方法誤差 ) 舍入誤差 上機(jī)計(jì)算 求得結(jié)果 數(shù)值分析 誤差的分類(lèi)（ 1/4） 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象 、 簡(jiǎn)化得到的數(shù)學(xué)模型 ， 與實(shí)際現(xiàn)象之間必然存在誤差 ， 這種誤差稱(chēng)之為 模型誤差 。 數(shù)值分析 誤差的分類(lèi)（ 2/4） 一般數(shù)學(xué)問(wèn)題包含若干參量 ， 他們的值往往通過(guò)觀測(cè)得到 ， 而觀測(cè)難免不帶誤差 ， 這種誤差稱(chēng)之為 觀測(cè)誤差 。 已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（ M） 466 741 950 1422 1634 水溫（ oC） 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如 500米， 600米， 1000米 … ）處的水溫 數(shù)值分析 誤差的分類(lèi)（ 3/4） 由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限 ， 參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)及其運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差 ， 這種誤差稱(chēng)之為 舍入誤差 。 舍入誤差與機(jī)器字長(zhǎng)緊密相關(guān) ! 例如：在十位十進(jìn)制下，會(huì)出現(xiàn)： 1/3= 333 333 3 數(shù)值分析 dxe x? ?10 2 近似計(jì)算:例????????????????? ?? ?91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4 R4 /* Remainder */ ,10 4? ?? Sdxe 2x取 則 ??????111!5191!414R稱(chēng)為 截?cái)嗾`差 /* Truncation Error */ 0 0 5091!414 .R ???這里將 ex2 作 Taylor展開(kāi)后再積分 截?cái)啵ǚ椒ǎ┱`差 : 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算 方法如果是一種近似的方法，那么只能得到近似解， 由此產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差或方法誤差 數(shù)值分析 167。 誤差與有效數(shù)字 /* Error amp。 Significant Digits */ ? 絕對(duì)誤差 /* absolute error */ |e|的上限記為 ε，稱(chēng)為絕對(duì)誤差限 /* accuracy*/ 工程上常記為 x＝ a177。 ε，例如： 02 ??? ? dxe xe=xa, 其中 x為精確值， a為 x的近似值。 數(shù)值分析 實(shí)際應(yīng)用中，精確解往往無(wú)法得到！ ? 相對(duì)誤差 /* relative error */ xeer ?相對(duì)誤差上限 /* relative accuracy */ 定義為 || xr?? ?aeer ? || ar?? ?實(shí)際應(yīng)用中： 思考題 1：實(shí)際應(yīng)用中，用 a取代 x合理嗎？為什么？ （提示：當(dāng)絕對(duì)誤差限較小時(shí)，兩者的差為相對(duì)誤差限的高階無(wú)窮小量，可以忽略） 當(dāng) 較小時(shí)，因兩者的差為 : 數(shù)值分析 ? 有效數(shù)字 定義：如果近似值 a的誤差限是某一位數(shù)的半個(gè)單位 ， 則稱(chēng) a準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后 n位 ， 并從第一個(gè)非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字 。 例： π＝ ,
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