數(shù)值分析第一講誤差-資料下載頁(yè)
2025-04-29 08:22本頁(yè)面
【正文】 兩種算法與真實(shí)值的比較 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )1(nI )2(nI nIn數(shù)值分析 說(shuō)明 在上表中， 是算法 1計(jì)算的值， 是算法 2計(jì)算的值，而 是真實(shí)值的一個(gè)近似。從上表我們不難直觀的得出結(jié)論：隨著 n的增大，算法一的出來(lái)的值是越來(lái)越偏離真實(shí)值，我們可以說(shuō)，算法 1是不穩(wěn)定的。 定義 ： 對(duì)于某個(gè)算法，若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過(guò)程中迅速增長(zhǎng)而得不到控制，則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否則是數(shù)值穩(wěn)定的。 )1(nI )2(nInI數(shù)值分析 在我們今后的討論中， 誤差 將不可回避， 算法的 穩(wěn)定性 會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。 數(shù)值分析 4. 數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的方法與原則 數(shù)值運(yùn)算總是在一個(gè)預(yù)先設(shè)計(jì)好的算法中進(jìn)行的，所謂算法就是一個(gè)有限的基本運(yùn)算序列。這個(gè)序列預(yù)定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)去計(jì)算出問(wèn)題的解。由于運(yùn)算是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，而計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，因而產(chǎn)生舍入誤差。為減小舍入誤差的影響，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循以下一些原則： 要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值的除法 要避免兩相近數(shù)相減 要防止大數(shù) “ 吃掉 ” 小數(shù) 注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù) 數(shù)值分析 167。 5 Remarks 數(shù)值分析 避免相近的兩數(shù)相減 (會(huì)耗失許多有效數(shù)字 ,可以用數(shù)學(xué)公式化簡(jiǎn)后再做 ). 例 各有五位有效數(shù)字的 . = ,有效數(shù)字的耗失 ,說(shuō)明準(zhǔn)確度減小 ,因此 ,在計(jì)算時(shí)需要加工計(jì)算公式 ,以免這種情況發(fā)生 . 例 當(dāng) x 較大時(shí) ,計(jì)算 xx ?? 1xxxx ????? 111 化成數(shù)值分析 防止 ” 大數(shù) ” 吃 ” 小數(shù) ” 當(dāng)兩個(gè)絕對(duì)值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時(shí) ,絕對(duì)值小的數(shù)有可能被絕對(duì)值大的數(shù) 吃掉 從而引起計(jì)算結(jié)果很不可靠 . 例 :求 兩者結(jié)果不同 ,因?yàn)橛?jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)做加減法要 “ 對(duì)階 ” ,“對(duì)階 ” 的結(jié)果使大數(shù)吃掉了小數(shù) .產(chǎn)生了誤差 .為了避免由于上述原因引起的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真 ,可以根據(jù)一些具體情況 ,存在需要把某些算式改寫(xiě)成另一種等價(jià)的形式 . ASASiiii ???? ????10 00110 001, ??數(shù)值分析 注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù) 例 已知 a0, a1, a2 ,…, an, x, 計(jì)算多項(xiàng)式： 直接計(jì)算 ： 運(yùn)算量 （乘） 秦九韶算法 （ 1247年）： 11 1 0( ) .nnnnp x a x a x a x a??? ? ? ? ?1( 1 ) 2 1 ( 1 ) .2n n n n? ? ? ? ? ? ?1 2 1 0( ) ( ( ( ) ) )n n np x x x x a x a a a a??? ? ? ? ? ?10, 1 , 2 , , 1 , 0()nnk k kbab b x a k n np x b????? ? ? ? ??? ??.n運(yùn)算量 數(shù)值分析 作業(yè) ? Page 1213: 習(xí)題： 1， 3， 5， 7， 8. ? 閱讀 《 Numerical Recipes in C》 ： page 1921. 關(guān)于誤差和穩(wěn)定性的內(nèi)容。
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