數(shù)值分析第四章數(shù)值積分-資料下載頁(yè)
2025-05-15 23:22本頁(yè)面
【正文】 的多項(xiàng)式 P(x) 必與 ?n+1 正交。 若取 w(x) 為其中的 ?n+1，則 ?n+1的根 就是 Gauss 點(diǎn)。 再解上例： ? ? ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 1： 構(gòu)造正交多項(xiàng)式 ?2 設(shè) c bx x x a x x x ? ? ? ? ? ? 2 2 1 0 ) ( , ) ( , 1 ) ( ? ? ? ? ? 5 3 ? ? a 0 ) ( 1 0 ? ? ? dx a x x 0 ) , ( 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 2 1 1 0 2 2 0 0 ) )( 5 3 ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x ? ? ? ? 21 5 9 10 ? ? ? c b 即： 215910)( 22 ??? xxx?167。 4 Gaussian Quadrature Step 2： 求 ?2 = 0 的 2 個(gè)根，即為 Gauss 點(diǎn) x0 ， x1 221/20)9/10(9/10 21。0???xStep 3： 代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ， A1 解 線性 方程組，簡(jiǎn)單。 結(jié)果與前一方法相同： ,1010 ???? AAxx? 利用此公式計(jì)算 的值 ? 10 dxexx??? 10 dxexx 2 89 21 eeeAeA xx ?????注： 構(gòu)造正交多項(xiàng)式也可以利用 LS 擬合中介紹過的遞推式進(jìn)行（ ）。 167。 4 Gaussian Quadrature ? 特殊正交多項(xiàng)式族： ① Legendre 多項(xiàng)式族： 1 ) ( ? x ? 定義在 [?1, 1]上， kkkkk xdxdkxP )1(!21)( 2 ?? 滿足： ??????? lklkPPklk1220),(xPP ?? 10 ,1由 有遞推 11 )12()1( ?? ???? kkk kPxPkPk以 Pn+1 的根為節(jié)點(diǎn)的求積公式稱為 GaussLegendre 公式 。 ② Chebyshev 多項(xiàng)式族： 2 1 1 ) ( x x ? ? ? 定義在 [?1, 1]上， ) a r c c o s( c o s)( xkxT k ??Tn+1 的根為 ?????? ??? ?22 12c os nkx kk = 0, …, n 以此為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式 ? ?? ???11 02 )()(11 nkkk xfAdxxfx稱為 GaussChebyshev 公式 。 注意到積分端點(diǎn) ?1 可能是積分的 奇點(diǎn) ，用普通 NewtonCotes公式在端點(diǎn)會(huì)出問題。而 Gauss公式可能避免此問題的發(fā)生。 其它公式見教材 167。 4 Gaussian Quadrature ? Gauss 公式的余項(xiàng)： ? ???? ba nk kk xfAdxxffR 0 )()(][ /* 設(shè) P為 f 的過 x0 … xn的插值多項(xiàng)式 */ ? ???? ba nk kk xPAdxxf 0 )()(/*只要 P 的階數(shù)不大于 2n+1，則下一步等式成立 */ dxxPxfdxxPdxxf baba ba )]()([)()( ?? ? ????插值多項(xiàng)式 的余項(xiàng) Q： 什么樣的 插值多項(xiàng)式 在 x0 … xn 上有 2n+1 階？ A： Hermite 多項(xiàng)式！ 滿足 )()(),()(kkkk xfxHxfxH ????? ?? ba dxxHxffR )]()([][),(,)()!22()()()!22()(2)12(2)12(badxxwnfdxxwnfbanbaxn????????????? Gauss 公式的穩(wěn)定性： Gauss公式的求積系數(shù) Ak 0, k=0,1,… ,n 定理 ()()22202:()( ) 2( ) ( ) , ( )( ) 0jkjxxk xxjkknbk i k i k i k iaibkkaproofl x G auss L agra ngel x nl x dx A l x l xl x dx A????????? ? ?????設(shè) 是 以 點(diǎn) 為 節(jié) 點(diǎn) 的 插 值 基 函 數(shù) ，則 是 一 個(gè) 次 多 項(xiàng) 式 ， 因 此 求 積 公 式 對(duì) 它 準(zhǔn) 確 成 立 ， 即又求積系數(shù)的另一種計(jì)算方法 結(jié)論： Gauss型積分公式是數(shù)值穩(wěn)定 的。（穩(wěn)定性分析類似于 n ? 7的 NC公式） 167。 6 Numerical Differentiation h=，精度 像這樣，將微分的計(jì)算歸結(jié)為在若干節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的 線性組合 的數(shù)值微分方法稱為 機(jī)械求導(dǎo)方法 。 二次插值 f(xn) 8. HW: 712
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