非線性方程求根ppt課件-資料下載頁
2025-01-20 00:45本頁面
【正文】 )( 01 xx ??由微分中值定理，有 * ) ,)((*)()(* 001 xxxxxx ?????? ????其中 介于 與 之間 . 0x? *x 假定 改變不大，近似地取某個近似值 ，則有 )(x?? L* ) .(* 01 xxLxx ??? （ ） 若將校正值 再校正一次，又得 )(01 xx ??32 ),( 12 xx ??由于 * ) ,(*12 xxLxx ???將它與（ ）式聯(lián)立，消去未知的 ，有 L.****1021xxxxxxxx?????由此推知 .2 )(2*01220100122120xxxxxxxxxxxxx?????????在計算了 及 之后，可用上式右端作為 的新近似， 記作 . 1x 2x *x1x33 一般情形是由 計算 ，記 kx 21 , ?? kk xx).,1,0(/)(2)(2212211???????????????kxxxxxxxxxxkkkkkkkkkk（ ） ()稱為埃特金（ Aitken）加速方法 . 可以證明 .0**lim 1 ?????? xx xxkkk它表明序列 的收斂速度比 的收斂速度快 . }{kx }{ kx34 斯蒂芬森迭代法 埃特金方法不管原序列 是怎樣產(chǎn)生的，對 進(jìn) 行加速計算，得到序列 . }{ kx }{ kx}{ kx 如果把埃特金加速技巧與不動點迭代結(jié)合，則可得到 如下的迭代法： ).,1,0(2)(),(),(21 ?????????? kxyzxyxxyzxykkkkkkkkKkk ?? （ ） 稱為斯蒂芬森 (Steffensen)迭代法 . 它的理解為，要求 的根 ，令 ， ，已知 的近似值 及 ，其誤差 分別為 )(xx ?? *x xxx ?? )()( ??0**)(*)( ??? xxx ?? *x kx ky35 x 過 及 兩點做線性插值函數(shù)，它與 軸交點就是（ ）中的 ，即方程 ))(,( kk xx ? ))(,( kk yy ?1?kx0)()()()( ????? kkkkkk xxxyxyx ???的解 .2 )()()()( )( 12??????????? kkkkkkkkkkkkk xxyzxyxxyxyxxx??? 實際上（ ）是將不動點迭代法（ ）計算兩步合 并成一步得到的，可將它寫成另一種不動點迭代 ),1,0()(1 ???? kxx kk ? （ ） .)()(,)()(kkkkkkkkkkyzyyyxyxxx????????????36 其中 .)(2))(( ))(()(2xxxxxxx?????????? （ ） 定理 5 若 為（ ）定義的迭代函數(shù) 的不動點， 則 為 的不動點 . 反之，若 為 的不動點，設(shè) 存在， ，則 是 的不動點，且斯蒂 芬森迭代法（ ）是 2階收斂的 . *x )(x?*x )(x? *x )(x?)(x??? 1*)( ?? x? *x )(x? 解 例 3中已指出 , 下列迭代 131 ??? kk xx是發(fā)散的，現(xiàn)用 ()計算，取 ，計算結(jié)果如 下表 . 1)( 3 ?? xx? 例 5 用斯蒂芬森迭代法求解方程 .01)( 3 ???? xxxf37 47kkkzyxk計算結(jié)果表 ? 計算表明它是收斂的，這說明即使迭代法（ ）不收 斂，用斯蒂芬森迭代法（ ）仍可能收斂 . 至于原來已收 斂的迭代法（ ），由定理 5可知它可達(dá)到 2階收斂 . 更進(jìn) 一步還可知若（ ）為 階收斂，則（ ）為 階收 斂 . p 1?p38 例 6 求方程 在 中的解 . 03)( 2 ??? xexxf ]4,3[ 解 由方程得 ，取對數(shù)得 23xex ?).(3lnln23ln 2 xxxx ?????若構(gòu)造迭代法 ,3lnln21 ??? kk xx由于 , 且當(dāng) 時， ， 根據(jù)定理 2此迭代法是收斂的 . 132)(m a x,2)( 43 ????? ?? xxx x ?? ]4,3[?x ]4,3[)( ?x? 若取 迭代 16次得 ，有六位有效數(shù) 字 . ?x 7 3 3 0 ?x 若用（ ）進(jìn)行加速，計算結(jié)果如下 ： 39 733 733 662 kkk zyxk 這里計算 2步（相當(dāng)于（ ）迭代 4步）結(jié)果與 相同， 說明用迭代法（ ）的收斂速度比迭代法（ ）快得多 . 16
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