【正文】 ) ( )40 1 2 3ba 7 f x 3 2 f x 1 2 f x 3 2 f x 7 f x90?????? ? ? ? ? 龍貝格求積公式 龍貝格積分法是在計算梯形和序列的基礎(chǔ)上應(yīng)用了線性外推的加速方法，由此構(gòu)成的一種具有超線性收斂的自動積分法 方法思路 : ，計算梯形和序列 abhn ??? 0,1 ?????? ?? )(21)(2100 bfafhT22,201abhhn ???? ?????? ???22121 0001hafhTT2222,2abhn ??? ?????? ???? ??02312012 212221 hiafhTTikkk abhn2,2??? ?????? ????? ? ??? 02101 212221 1 hiafhTTkikkkk由此生成序列 T0, T1, …, Tn ,… 當(dāng) 時，就可以結(jié)束計算。 ??? ?1nn TT設(shè) Tn為梯形和， I為積分真值，由復(fù)化梯形公式 2()12nbaT I f h a b??? ??? ? ? ?20l i m ( ) ( )bah T h f x d x? ? ?龍貝格求積公式 由解析幾何 ? ??,2,1,014414141112221????????????????nTTTTThhhTTTSnnnnnnnnnnnn144 2 12??? ? nnn SSC144 3 13??? ? nnn CCD 柯特斯序列 龍貝格序列 14 41nnn TTS ? ?? ? 梯 形序列 用類似方法可推得： 由此法，可得如下三角形數(shù)表 梯形 辛普森 柯特斯 龍貝格 T0 T3 T2 T1 S0 S2 S1 C0 C1 D0 計算步驟： 1． 取 ，計算 abh ??0 ? ?)()(200 bfafhT ??2． 對 k = 1, 2,… 計算下列各步 ???? ?????? ???? 12100)1(0)(0 212221 kikkkk hiafhTT3． 對 n = 0, 1, 2,…, k = n – 1, n – 2, … 144 )( 1)1( 1)(??? ???nknknnknTTT4． 收斂控制 ??? ? )0( 1)0( kk TT ? ??? ?)0()0(1)0(kkkTTT若 或 則輸出積分值 ，否則轉(zhuǎn) 3。 )0(kT龍貝格求積公式 例：用龍貝格算法計算定積分（計算一個龍貝格過程即可）。 210e xI dx?? ?1( 0 )02( ) ( 1 )001( 1 ) ( )() 11[ ( ) ( ) ]21[ ( 2 1 ) ] ( 1 , 2 , 3 , . . . )2 2 24( 0 , 1 , . . . , 。 1 , 2 , . . . , )41lllllim k kk mmm mbaT f a f bb a b aT T f a i lTTT k l m m l???????????????? ? ? ? ???? ?? ? ? ?????( 0 )0 10[ ( ) ( ) ] [ 1 0 . 3 6 7 8 8 ] 0 . 6 8 3 922baT f a f b??? ? ? ? ?1( 1 ) ( 0 )00 11 1 1 0[ ( 2 1 ) ] 0 . 6 8 3 9 0 . 7 7 8 8 0 . 7 3 1 42 2 2 2 2ib a b aT T f a i?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??( 1 ) ( 0 )( 0 ) 0014 4 31 4 83 9 47 24 1 4 1TTT ? ??? ? ???( 2 )0 1 1 0 1 30 . 7 3 1 4 [ ( ) ( ) ] 0 . 7 4 3 02 4 4 4T f f?? ? ? ? ? ?( 2 ) ( 1 )( 1 ) 0014 4 4 1 4 1TTT ? ??? ? ???2 ( 1 ) ( 0 ) 2( 0 ) 112 224 4 1 4 1TTT ? ??? ? ???( 3 )0 1 1 0 1 3 5 70 . 7 4 3 0 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 . 7 4 5 92 8 8 8 8 8T f f f f?? ? ? ? ? ? ? ?( 3 ) ( 2 )( 2 ) 001 4 4 45 9 43 0 46 94 1 4 1TTT ? ??? ? ???2 ( 2 ) ( 1 ) 2( 1 ) 112 224 4 1 4 1TTT ? ??? ? ???3 ( 1 ) ( 0 ) 3( 0 ) 223 334 4 1 4 1TTT ? ??? ? ??? 0 . 6 8 3 9 0 . 7 4 7 2 0 . 7 4 6 9 0 . 7 4 69 0 . 7 3 1 4 0 . 7 4 6 9 0 . 7 4 6 9 0 0 . 7 4 3 0 0 . 7 4 6 9 0 0 0 . 7 4 5 9 0 0 0T???????解： 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 歐拉法 0 1y ?? ?1 0 0 0, 1 0 . 2 0 1y y h f x y? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 1, 1 0 . 2 2 0 . 2 1 0 . 9 2y y h f x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 2 2 2, 0 . 9 2 0 . 2 2 0 . 4 0 . 9 2 0 . 7 7 2 8y y h f x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?4 3 3 3 3 3, 0 . 7 7 2 8 0 . 2 2 0 . 5 8 7 3 2 8y y h f x y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?5 4 4 4 4 4 4, 0 . 2 2 0 . 3 9 9 3 8 3y y h f x y y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?6 5 5 5 5 5 5, 0 . 2 2 0 . 2 3 9 6 2 9 8y y h f x y y x y? ? ? ? ? ? ?? ?2 0 1 .201y x y xy? ? ? ? ??????? ?步長 kx ky ? ?kyx ke 00 0 60 78 94 39 2 20 0 52 14 37 67 9 72 8 97 67 63 75 1 87 32 8 27 29 24 60 0 99 38 3 67 87 94 31 5 39 6 298 36 92 77 02 7 改進歐拉方法 例：? ?2 0 1 .201y x y xy? ? ? ? ??????? 解：0 1 , ?? (1) 、? ?1 0 0 021y y h x y? ? ? ? ? ?1 0 0 0 1 12 2 0 . 9 62hy y x y x y? ? ? ? ? (2) 、? ?2 1 1 12 0 . 8 8 3 2y y h x y? ? ? ? ? ?2 1 1 1 2 22 2 0 . 8 5 0 9 4 42hy y x y x y? ? ? ? ? (3) 、? ?3 2 2 22 0 . 7 1 4 7 9 2 9y y h x y? ? ? ? ? ?3 2 2 2 3 32 2 0 . 6 9 7 0 9 3 32hy y x y x y? ? ? ? ? (4) 、? ?4 3 3 32 0 . 5 2 9 7 9 0 9y y h x y? ? ? ? ? ?4 3 3 3 4 42 2 0 . 5 2 8 6 7 5 52hy y x y x y? ? ? ? ? (5) 、? ?5 4 4 42 0 . 3 5 9 4 9 9 3y y h x y? ? ? ? ? ?5 4 4 4 5 52 2 0 . 3 7 2 1 8 8 72hy y x y x y? ? ? ? ? (6) 、? ?6 5 5 52 0 . 2 2 3 3 1 3 2y y h x y? ? ? ? ? ?6 5 5 5 6 62 2 0 . 2 4 4 1 5 5 72hy y x y x y? ? ? ? ? kx ky ? ?kyx ke 0 . 2 0 . 9 6 0 . 9 6 0 7 8 9 4 47 . 8 9 1 0 ?? 0 . 4 0 . 8 5 0 9 4 4 0 . 8 5 2 1 4 3 7 31 .2 0 1 0 ?? 0 . 6 0 . 6 9 7 0 9 3 3 0 . 6 9 7 6 7 6 3 45 . 8 3 1 0 ?? 0 . 8 0 . 5 2 8 6 7 5 5 0 . 5 2 7 2 9 2 4 31 .3 8 1 0 ?? 1 . 0 0 . 3 7 2 1 8 8 7 0 . 3 6 7 8 7 9 4 34 .3 1 1 0 ?? 1 . 2 0 . 2 4 4 1 5 5 7 0 . 2 3 6 9 2 7 7 37 . 2 3 1 0 ?? 1 1 2 3 41213243( 2 26( , )11( , )2211( , )22( , )iiiiiiiiiihy y k k k kk f x yk f x h y hkk f x h y hkk f x h y hk??? ? ? ? ???????? ? ????? ? ???? ? ???）? ?? ?? ?1 1 2 3 401 0 0 0002 0 0 1 0 10103 0 0 2 0 20204 0 0 3 0 30( 2 262,122, 18 18 182 2 2222, 08 63 752 2 222,nnhy y k k k kxK f x y yyhxh h hK f x y K y KhyKhxh h hK f x y K y KhyKxhK f x h y hK y hKy hK?? ? ? ? ?? ? ? ???????? ??? ? ? ? ? ? ????????????? ??? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ??）3 43 23 99( 0) 1y?????????????????????????? ?201dy xydx yy? ????? ???例：初值問題 用四階古典 Runge－ Kutta方法， 龍格 — 庫塔法