數(shù)值分析ppt課件-資料下載頁
2025-04-29 02:05本頁面
【正文】 算中首先要分清問題是否病態(tài)和算法是否數(shù) 值穩(wěn)定，計(jì)算時還應(yīng)盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字 的損失，有下面若干原則 . 1. 要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法 用絕對值小的數(shù)作除數(shù)舍入誤差會增大，如計(jì)算 ,yx若 ，則可能對計(jì)算結(jié)果帶來嚴(yán)重影響，應(yīng) 盡量避免 . xy ???057 線性方程組 ???????22,10 0 0 0 2121xxxx的準(zhǔn)確解為 , ??x在四位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)（仿機(jī)器實(shí)際計(jì)算）下用消去法求解， 例 6 .9 9 9 9 9 9 9 9 9 91 9 9 9 9 82 ??x上述方程寫成 58 ??????????????.2 0 0 0 0 0 0 ,1 0 0 0 0 0 0 1211112114xxxx????????????.2 0 0 0 0 ,1 0 0 0 0 0 0 62612114xxx由此解出 ,11 0 0 ,0 121 ???? xx顯然嚴(yán)重失真 . 若用 除第一方程減第二方程，則出現(xiàn) )(21 4 ??小數(shù)除大數(shù)， 這時方程組為 59 若反過來用第二個方程消去第一個方程中含 的項(xiàng)， 1x???????????.2 0 0 0 0 0 0 ,1 0 0 0 0 12111626xxx由此求得相當(dāng)好的近似解 .1 0 0 ,5 0 0 121 ??? xx則避免了大數(shù)被小數(shù)除，得到 60 2. 要避免兩相近數(shù)相減 在數(shù)值計(jì)算中兩相近數(shù)相減有效數(shù)字會嚴(yán)重?fù)p失 . 例如， 都具有五位有效數(shù)字， 3 2, 3 2 ?? yx但 只有兩位有效數(shù)字 . ?? yx 這說明必須盡量避免出現(xiàn)這類運(yùn)算 . 最好是改變計(jì)算方法，防止這種現(xiàn)象產(chǎn)生 . 61 求 的小正根 . 01162 ??? xx 解 ,6381 ??x 只有一位有效數(shù)字 . *2x6382 ??x則具有 3位有效數(shù)字 . 若改用 例 7 由求根公式 6382 ??x , *2x????,0 6 2 1638 1 ????62 例 8 計(jì)算 （用四位數(shù)學(xué)用表） . )2c o s1(107 ???A 由于 ， 9 9 9 o s ??)2c o s1(10 7 ???A只有一位有效數(shù)字 . ,2s in2c os1 2 xx ??)2c o s1(10 7 ???A具有三位有效數(shù)字 （這里 ） . in ??則 若利用 .106)9 9 9 (10 37 ????,)1( s in2 372 ????? ?直接計(jì)算 63 此例說明，可通過改變計(jì)算公式避免或減少有效數(shù)字 的損失 . 類似地，如果 和 很接近時，由 1x 2x,lglglg2121 xxxx ??用右邊算式有效數(shù)字就不損失 . ,111 xxxx ?????也應(yīng)該用右端算式代替左端 . 當(dāng) 很大時， x64 一般情況，當(dāng) 時，可用泰勒展開 *)()( xfxf ??????????? 2*)(2 *)(*)* ) ((*)()( xxxfxxxfxfxf取右端的有限項(xiàng)近似左端 . 如果無法改變算式，則采用增加有效位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算； 在計(jì)算機(jī)上則采用雙倍字長運(yùn)算，但這要增加機(jī)器計(jì)算時間和多占內(nèi)存單元 . 65 3. 要防止大數(shù) “ 吃掉 ” 小數(shù) 在數(shù)值運(yùn)算中參加運(yùn)算的數(shù)有時數(shù)量級相差很大， 例 9 ,52 49 2 1 0 0 01????iiA ?其中 . ??i?而計(jì)算機(jī)位數(shù)有限，如不注意運(yùn)算次序就可能出現(xiàn)大數(shù)“ 吃掉 ” 小數(shù)的現(xiàn)象，影響計(jì)算結(jié)果的可靠性 . 在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，計(jì)算 66 把運(yùn)算的數(shù)寫成規(guī)格化形式 .105 2 4 9 1 0 0 015 ?????iiA ? 由于在計(jì)算機(jī)內(nèi)計(jì)算時要對階， 若取 ， ?i?555 100 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 9 ??????? ?A結(jié)果顯然不可靠，這是由于運(yùn)算中出現(xiàn)了大數(shù) 52492 “吃 掉 ” 小數(shù) 造成的 . i?，)( 5 表示機(jī)器中相等Δ符號??對階時 ，在五位的計(jì)算機(jī)中表示為 5100000090 ?? .i?機(jī)器 0 ， 因此 67 , 31 0 0 013 ???? ??ii?于是 A???? 55 105 2 4 9 0 如果計(jì)算時先把數(shù)量級相同的一千個 相加，最后 再加 52492，就不會出現(xiàn)大數(shù) “ 吃 ” 小數(shù)現(xiàn)象， i?,105 2 4 9 0 55 ????.5 3 3 9 25 2 5 9 2 ?? A這時 68 4. 注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù) 同樣一個計(jì)算問題，如果能減少運(yùn)算次數(shù)，不但可節(jié)省計(jì)算機(jī)的計(jì)算時間，還能減少舍入誤差 . 這是數(shù)值計(jì)算必須遵從的原則，也是 “ 數(shù)值分析 ” 要研究的重要內(nèi)容 . 69 例 10 0111)( axaxaxaxP nnnnn ????? ?? ?的值， 若直接計(jì)算 再逐項(xiàng)相加，一共需做 kkxa2)1(12)1( ??????? nnnn ?次乘法和 次加法 . n 若采用秦九韶算法 ????????????,)(),0,1,2,1(,01SxPnkaxSSaSnkkknn?（ ） 計(jì)算多項(xiàng)式 70 只要 次乘法和 次加法就可算出 的值 . nn )(xPn 在 “ 數(shù)值分析 ” 中，這種節(jié)省計(jì)算次數(shù)的算法還有不少 .
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