清華大學講義數(shù)值方法：第七章-函數(shù)逼近-資料下載頁
2025-08-27 18:38本頁面
【導讀】2在],[ba的任一子區(qū)間],[??,ab上k階導數(shù)連續(xù)的。,kCab也是線性空間。,ab上連續(xù)函數(shù)全體，??ff，等號成立充分必要條件為0)(?具有內積的線性空間稱為內積空間。除內積外，范數(shù)是重要概念。為正交函數(shù)序列，為定義在],[ba上函數(shù)集合，是最高項系數(shù)為1的n次多項式。在開區(qū)間（a,b）內恰有n個不同的實零點。在],[ba上不變號，因此。，那么利用正交性有。5)(xTn的首項系數(shù)為12?區(qū)間[0，+∞]，xex??的正交多項式稱為
【正文】 試求最小二乘擬合 曲線 解 ))(,( ii xfx 3 ,2 ,1 ,0?i ，近似直線分布。令 xaaxp 101 )( ?? ?????? x)(x, (x,1) x)(1, )1,1( ??????10aa ??????? ),( ),1( yxy 15 ?? ??? 30 411)1,1( i ， ?? ???????30 208642)1,(),1( i ixxx ?? ?? 30 2 120),( i ixxx ?? ?? 30 16),1( i iyy ， ?? ?? 3 0 ),( i ii yxyx ??? ?? ?? 162041010 aa aa , *1*0 ??? aa )(*1 ?? xxP 擬合曲線（直線）的平方偏差 )( ,)( 3 0 2*13 0 2*1 ????? ?? ?? i iii ii xPyxPy ? （ III）指數(shù)擬合 如果數(shù)據（ mixfx ii ,1,0)),(, ?? 呈現(xiàn)出指數(shù)函數(shù)形態(tài)的圖形， 這就要求 )(xs 具有這種性態(tài)，不妨設 axbexs ?)( （ 10） 其中 a,b 為待定常數(shù)，直接求 a,b 會出現(xiàn)非線性方程組， 求解相當困難，因此先化成線性問題。通常辦法是對 （ 10） 的兩邊取對數(shù) axbxs ?? ln)(ln 此時作為線性問題容易求解。 16 例 設數(shù)據 ))(,( ii xfx 4,1 ,0 ??i 由表給出，表的第 4 行給出 ii yxf ln)(ln ? ， ))(ln,( ii xfx 近似呈現(xiàn) 線性關系， 設 axbexs ?)( axbxs ?? ln)(ln 表 1 j 0 1 2 3 4 jx )( jj xfy ? jyln 由此取 ? ?xspan ,1?? ，得法方程 ?? ab ?? ab ? ?b ， a= xxs )(ln * ?? xexS 5 0 5 * )( ? （ IV）一般情況 設 )(0 x? ， )(1x? ，… ],[)( baCxn ?? 是線性無關函數(shù)組， ? ?)(,),(),( 10 xxxs p a n n??? ??? 定義 設 )(xf 在 m+1 個節(jié)點 ],[, 10 baxxx m ?? 上給定的 離散函數(shù)，最小二乘曲線擬合是求 ??)(* xS 使 ?? ?? ?? ??? mj jjjmj sjjj xsxfxxSxfx 0 20 m i n2* )]()()[()]()()[( ?? ??s 有： ???ni ii xaxs 0 )()( ?， ???ni ii xaxs 0** )()( ? 與多項式擬合同樣推導可得法方程 17 ????????????),(),)(,(),(),)(,(),(),)(,(101110101000nnnnnn??????????????????????????????????naaa?10=????????????),(),(),(10nfff??? 其中 ???mj jljkjlk xxx0 )()()(),( ????? ??? mj jljjl xxfxf 0 )()()(),( ??? 解出： niai ?1 ,0,* ? 有 ??? ni ii xaxS 0 ** )()( ? 注意法方程中系數(shù)矩陣非奇異是有條件的，在此不作討論 例 已知函數(shù)表 jx )( jj xfy ? 試用函數(shù) xaxaxS10)( ??作最小二乘曲線擬合 以確定參數(shù) 0a 和 1a 解 xx 1)(0 ??， xx ?)(1? jx )(0 jx? 10 5 2 )(1 jx? jy 21 11 6 ?? ?? 3 0 0000 )()(),( j jj xx ???? ?? ??? 3 0 100110 )()(),(),( j jj xx ?????? 18 ?? ?? 3 0 1111 )()(),( j jj xx ???? ?? ?? 3 0 00 )(),( j jj xyy ?? ； ),( 1 ?y? ??? ?? ?? 1010 aa aa *0 ?a ， *1 ?a xxxaxaxS )()()( 1100* ???? ??
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