清華大學講義數(shù)值方法：第七章-函數(shù)逼近-全文預覽
【正文】 就證明了 ()，從而證明了 f 在 ? 中最佳平方逼近的存在唯一性。 （ ）是關于 01, , , na a a 的線性方程組，稱為法方程。 （ ） 定義 設 2 [ , ]f L a b?? ，如果存在 *s?? 使得 *22 infsf s f s?? ? ?? () 則稱 *s 為 f 在 ? 中的最佳平方逼近函數(shù)。 證明 設 n? 在 ),( ba 內(nèi)有奇數(shù)重零點 ??,2,1, ?jx j ， bxxxa ????? ??21 )(xn? 在 jx （ ??,2,1?j ）處變號，令 )()( 1 jj xxxq ??? ?? 那么， )()( xqxn? 在 ],[ ba 上不變號，因此 ? ?? ba nn dxxqxxq 0)()()(),( ??? 如果 n?? ，那么利用正交性有 ? ??? ba j jjnn dxxxxq ? 0 )()()(),( ????? ?? ?? ? 0 0),(j jnj ??? 此式矛盾于 0),( ?qn? ，從而有 n?? 5 （ II） Legendre 多項式 區(qū)間 ]1 ,1[? ，權(quán)函數(shù) 1)( ?x? 的正交多項式稱為 Legendre 多項式，其表達式為 1)(0 ?xP ， ])1[(!2 1)( 2 nnnnn xdxdnxP ?? 1?n ?1 正交性 ?? ????? ?? ??? 1 1 12n 2 nm 0)()(),( nmdxxPxPPP mnmn ?2 奇偶性 )()1()( xPxP nnn ??? ?3 遞推關系 )()()12()()1( 11 xnPxxPnxPn nnn ?? ???? ， ?1 ,0?n 其中 0)(1 ?? xP 1)(0 ?xP xxP ?)(1 2 )13()( 22 ?? xxP （ III） Chebyshev 多項式 區(qū)間 [1， 1],權(quán)函數(shù)211)( xx ??? 的正交多項式稱為 Chebyshev 多項式，其表達式為 )a rc c o sc o s ()( xnxT n ? , ?1 ,0?n ?1 正交性 ????????????????11 20mn π0mn 2mn 01)()( ?dxxxTxT mn 6 ?2 奇偶性 )()1()( xTxT nnn ??? , ?1 ,0?n ?3 遞推關系 )()(2)( 11 xTxxTxT nnn ?? ?? , ?,2, 1 ?n ?4 )(xTn 在（ 1， 1）內(nèi)有 n 個不同的零點 ?nkxk 2 )12(cos ?? nk ?,2, 1 ? ?5 )(xTn 的首項系數(shù)為 12?n ， ?,2, 1 ?n 1)(0 ?xT xxT ?)(1 12)( 22 ?? xxT （ TV） Laguerre 多項式 區(qū)間 [0， +∞ ]， xex ??)(? 的正交多項式稱為 Laguerre 多 項式，記為 )(xLn )()( xnnnxn exdxdexL ?? , ?,1, 0 ?n ??? ????? ? mn )(n ! mn 0)()(20 dxxLxLe mnx 遞推關系 )()()21()( 121 xLnxLxnxL nnn ?? ???? ， ?,2, 1 ?n 1)(0 ?xL xxL ??1)(1 24)( 22 ??? xxxL （ V） Hermite 多項式 區(qū)間（ ∞，∞ ）， 2)( xex ??? 的正交多項式稱為 Hermite 多項式，記為 )(xHn 7 22)1()( xnnxnn edxdexH ??? ， ?,1, 0 ?n ???? ? ??? ??? nm !2 nm 0)()( n2 ndxxHxHe nmx )(2)(2)( 11 xnHxxHxH nnn ?? ?? ， ?,2, 1 ?n 1)(0 ?xH ， xxH 2)(1 ? ， 24)( 22 ?? xxH 167。 矩陣 ? ?? ?,ij nnG u u ?? 稱為 Gram 矩陣， G 非奇異的充分必要條件是 u1,u2,… ,un 線性無關。 設 ? ?2 ,f L a b?? ， 令 ? ?2 ,f f f? 那么 2f 是 ? ?2 ,L ab? 上范數(shù)， 對于 ? ?,Cab 通常用 ? ?m a xa x bf f x? ??? 為其范數(shù)， 對于一個線性空間可構(gòu)造多種范數(shù) ， 具有范數(shù)的線性空間 稱為賦范線性空間。 ? ?,Cab 為 ? ?,ab 上連續(xù)函數(shù)全體， ? ?,Cab 為線性空間。 1 正交多項式 （ I）正交多項式 定義 設 [a, b]是有限或無限區(qū)間，如果 [a, b]上函數(shù) )(xρ 滿足如下性質(zhì)： ?1 0)( ?x? ],[ bax?? ?2 在 ],[ ba 的任一子區(qū)間 ],[ ?? 上 0)( 不恒為x? 那么稱 )(xρ 為 [a, b]上的權(quán)函數(shù) 記 ? ? ? ? ? ?
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