清華大學(xué)講義數(shù)值方法：第七章-函數(shù)逼近-文庫(kù)吧
2025-08-02 18:38 本頁(yè)面
【正文】 a,b）內(nèi)恰有 n 個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)。 證明 設(shè) n? 在 ),( ba 內(nèi)有奇數(shù)重零點(diǎn) ??,2,1, ?jx j ， bxxxa ????? ??21 )(xn? 在 jx （ ??,2,1?j ）處變號(hào)，令 )()( 1 jj xxxq ??? ?? 那么， )()( xqxn? 在 ],[ ba 上不變號(hào)，因此 ? ?? ba nn dxxqxxq 0)()()(),( ??? 如果 n?? ，那么利用正交性有 ? ??? ba j jjnn dxxxxq ? 0 )()()(),( ????? ?? ?? ? 0 0),(j jnj ??? 此式矛盾于 0),( ?qn? ，從而有 n?? 5 （ II） Legendre 多項(xiàng)式 區(qū)間 ]1 ,1[? ，權(quán)函數(shù) 1)( ?x? 的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為 Legendre 多項(xiàng)式，其表達(dá)式為 1)(0 ?xP ， ])1[(!2 1)( 2 nnnnn xdxdnxP ?? 1?n ?1 正交性 ?? ????? ?? ??? 1 1 12n 2 nm 0)()(),( nmdxxPxPPP mnmn ?2 奇偶性 )()1()( xPxP nnn ??? ?3 遞推關(guān)系 )()()12()()1( 11 xnPxxPnxPn nnn ?? ???? ， ?1 ,0?n 其中 0)(1 ?? xP 1)(0 ?xP xxP ?)(1 2 )13()( 22 ?? xxP （ III） Chebyshev 多項(xiàng)式 區(qū)間 [1， 1],權(quán)函數(shù)211)( xx ??? 的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為 Chebyshev 多項(xiàng)式，其表達(dá)式為 )a rc c o sc o s ()( xnxT n ? , ?1 ,0?n ?1 正交性 ????????????????11 20mn π0mn 2mn 01)()( ?dxxxTxT mn 6 ?2 奇偶性 )()1()( xTxT nnn ??? , ?1 ,0?n ?3 遞推關(guān)系 )()(2)( 11 xTxxTxT nnn ?? ?? , ?,2, 1 ?n ?4 )(xTn 在（ 1， 1）內(nèi)有 n 個(gè)不同的零點(diǎn) ?nkxk 2 )12(cos ?? nk ?,2, 1 ? ?5 )(xTn 的首項(xiàng)系數(shù)為 12?n ， ?,2, 1 ?n 1)(0 ?xT xxT ?)(1 12)( 22 ?? xxT （ TV） Laguerre 多項(xiàng)式 區(qū)間 [0， +∞ ]， xex ??)(? 的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為 Laguerre 多 項(xiàng)式，記為 )(xLn )()( xnnnxn exdxdexL ?? , ?,1, 0 ?n ??? ????? ? mn )(n ! mn 0)()(20 dxxLxLe mnx 遞推關(guān)系 )()()21()( 121 xLnxLxnxL nnn ?? ???? ， ?,2, 1 ?n 1)(0 ?xL xxL ??1)(1 24)( 22 ??? xxxL （ V） Hermite 多項(xiàng)式 區(qū)間（ ∞，∞ ）， 2)( xex ??? 的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為 Hermite 多項(xiàng)式，記為 )(xHn 7 22)1()( xnnxnn edxdexH ??? ， ?,1, 0 ?n ???? ? ??? ??? nm !2 nm 0)()( n2 ndxxHxHe nmx )(2)(2)( 11 xnHxxHxH nnn ?? ?? ， ?,2, 1 ?n 1)(0 ?xH ， xxH 2)(1 ? ， 24)( 22 ?? xxH 167。 2 最佳平方逼近 （ I） 最佳平方逼近概念及計(jì)算 設(shè) ? 為 [a,b]上的權(quán)函數(shù)， f 為定義在 [a,b]上的實(shí)值函數(shù)， 對(duì)于 f 定義范數(shù) 22 ( ) [ ( ) ]baf x f x d x?? ? 令 ? ?2 2[ , ] :L a b f f? ? ? ?。 若 ( ) 1x? ? ，記為 2[ , ]Lab 。 設(shè) 01, , , n? ? ? 為 2[ , ]L ab? 上線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)， 記 ? ?01, , , nsp an ? ? ??Φ ，則取 s?? ， 有0( ) ( )njjjs x a x????。 （ ） 定義 設(shè) 2 [ , ]f L a b?? ，如果存在 *s?? 使得 *22 infsf s f s?? ? ?? () 則稱(chēng) *s 為 f 在 ? 中的最佳平方逼近函數(shù)。 由（ ）可以看出，求 *s 等價(jià)于求多元函數(shù) 201 0( , , , ) ( ) ( ) ( )nbn j ja jF a a a x a x f x d x????????????? 8 的極小值。 01( , , , )nF a a a 是關(guān)于 01, , , na a a 的二次 函數(shù)。 利用多元函數(shù)求極值的必要條件，有 0 , 0 ,1, , ,kF kna? ??? 即 0( ) ( ) (
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