數(shù)值計算與最優(yōu)化lecture計算方法第一章-資料下載頁
2025-06-19 16:02本頁面
【正文】 ()y? 2112 ?? ???? xx21 xxy ??對于21xxy ?對于()y?2221121 ?? ????xxx?|||| 21 xx 或 ()y???|| 2x ()y??小數(shù)作除數(shù)或大數(shù)作乘數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤，因而產(chǎn)生大的誤差。 在算法設(shè)計時，要避免這類情況在計算公式中出現(xiàn)。此時可以 根據(jù)一些具體情況 , 把某些算式改寫成另一種等價的形式， 如 分母有理化等。 根據(jù)誤差傳播的估計式 167。 如前所述，由于各種誤差的存在，計算機往往只能近似地求解實際問題，因而計算時會冒風(fēng)險。 一、問題的性態(tài) 1 2 31 2 31 2 31 1 1 12 3 61 1 1 1 32 3 4 1 21 1 1 4 73 4 5 6 0x x xx x xx x x?? ? ????? ? ????? ? ???1 2 31 2 31 2 30 . 5 0 0 . 3 3 1 . 80 . 5 0 0 . 3 3 0 . 2 5 1 . 10 . 3 3 0 . 2 5 0 . 2 0 0 . 7 8x x xx x xx x x? ? ???? ? ??? ? ? ??如把方程組的系數(shù) 舍入成兩位有效數(shù)字 它的精確解為 x1 = ... x2= … x3= ... 例 求解線性方程組 其精確解為 x1=x2=x3=1. 若對方程組的系數(shù)和中間結(jié)果均取 3位 10進(jìn)制有效數(shù)字，然后用 Gauss消元法求解，得到計算解為： 1 2 31 . 0 9 0 . 4 8 8 0 . 4 9 1 .x x x? ? ?， ，1 2 31 2 3132 3 14 2 5 42 2 6x x xx x xxx? ? ???? ? ??? ???顯然，該計算解的精度較差。 同樣用 Gauss消元法求解方程組： 也取 3位 10進(jìn)制有效數(shù)字，得到計算解為： 1 2 39 . 0 0 1 . 0 0 6 . 0 0 .x x x? ? ? ? ?， ，容易驗證，它是方程組的精確解。 上述例子表明，數(shù)值問題計算解的精度，與數(shù)值問題本 身的性態(tài)有關(guān)。 定義 在數(shù)值問題中，如果輸出數(shù)據(jù)對輸入數(shù)據(jù)的 擾動（如誤差）很敏感，即若輸入數(shù)據(jù)（如原始數(shù)據(jù)） 有較小的變化，會引起輸出數(shù)據(jù)（如計算解）的較大變 化，稱這類數(shù)值問題為 病態(tài)問題 或 壞條件問題 。非病態(tài) 問題又稱為 良態(tài)問題 。問題輸出變量的相對誤差與輸入 變量的相對誤差的商稱為問題的 條件數(shù) 二、算法的穩(wěn)定性與設(shè)計原則 例 ?? 101 dxexeI xnn計算定積分 7,2,1,0 ??n解 nI ??101 xn dexe101 xn exe? ? ??101 dxexen xn11 ??? nnI0 ,I(1) 先 計 算 721 , III ?然后再計算一個程序往往要進(jìn)行大量的四則運算才能得出結(jié)果 ，每一步的運算均可能會產(chǎn)生舍入誤差 。 在大量計算中 ,舍入誤差是積累還是能控制 ,這與算法有關(guān) 。 ,*00 II 的近似值為假設(shè)計算出 *0( ) .I? ? ?誤 差 為**1 1 1()I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為**2 2 2( ) 2I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為**3 3 3( ) 3!I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為??????**7 7 7( ) 7 !I I I? ? ?的 近 似 值 的 誤 差 為5040??誤差放大 5千倍 ! 并假設(shè)計算過程中不產(chǎn)生新的舍入誤差 。 11nnI n I ??? 誤差會放大 由公式 可推出： 顯然算法不穩(wěn)定。理論上成立的算法，在計算機上計算 時，由于初值的誤差在計算過程中的傳播，而導(dǎo)致結(jié)果 的失真，這是我們數(shù)值計算方法所要研究的。 nII nn???11(2) 利用遞推公式 ,7I先計算 !570 千分之一誤差的的誤差只有 II誤差不會放大 數(shù)值穩(wěn)定，在運算過程中，舍入誤差不增大。 111 nnenne???若 步 的 誤 差 與 步 的 誤 差 滿 足 ， 則 稱為 絕 對 穩(wěn) 定 的 ， 否 則 稱 為 不 是 絕 對 穩(wěn) 定 的 。定義 如果對于良態(tài)問題，在運算過程中 ,舍入誤差 能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為 數(shù)值穩(wěn)定的 算法 ,否則 就稱之為 不穩(wěn)定的 算法。 前面的例子說明，不穩(wěn)定的算法可能導(dǎo)致計算結(jié)果不可 靠甚至嚴(yán)重失真。因此，在計算時，應(yīng)該采用穩(wěn)定的數(shù) 值計算方法。 ?算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn) –從 截斷誤差 觀點看，算法必須是截斷誤差小，收斂速 速要快。即運算量小，機器用時少。 –從 舍入誤差 觀點看，舍入誤差在計算過程中要能控 制，即算法的數(shù)值要穩(wěn)定。 –從 實現(xiàn)算法 的觀點看，算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜， 便于程序編制和上機實現(xiàn) . ?設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則 –要具有數(shù)值穩(wěn)定性 ，即能控制誤差的傳播。 –避免大數(shù)吃小數(shù) ，即兩數(shù)相加時，防止較小的數(shù)加 不到較大的數(shù)上。 –避免兩相近的數(shù)相減 ，以免有效數(shù)字的大量丟失。 –避免分母很小或乘法因子很大 ，以免產(chǎn)生溢出。
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