數(shù)值計(jì)算方法試題與答案-資料下載頁
2025-06-25 01:55本頁面
【正文】 ，表如下：0120造插商表：0可得牛頓型插值多項(xiàng)式，即相應(yīng)的切比雪夫多項(xiàng)式為：21．利用切比雪夫級(jí)數(shù)截?cái)?，求在區(qū)間上的次逼近多項(xiàng)式。解：按照切比雪夫級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算公式得所以在區(qū)間上的 次逼近多項(xiàng)式依次為 22．利用縮短冪基數(shù)方法，將函數(shù)的泰勒展開逼近多項(xiàng)式降冪。解：令用作為得近似，誤差為記為縮短冪級(jí)數(shù)所得到得5次多項(xiàng)式，同理有，縮短冪級(jí)數(shù)得到與的誤差為：由于，則得用作為的逼近多項(xiàng)式其誤差為若再用代入可以求得用其作為的逼近多項(xiàng)式的誤差為不合題意。故所求得逼近多項(xiàng)式為23．求函數(shù)在區(qū)間上的逼近，其中。并將結(jié)果與四階泰勒多項(xiàng)式相比較。解：設(shè)所求的有理分式為，的麥克勞林級(jí)數(shù)為，令中的系數(shù)分別為零，其中。有：，：，：，：，：，： 。求解得，故得有理分式逼近24．求函數(shù)在區(qū)間上的切比雪夫有理分式逼近并和習(xí)題3中的結(jié)果相比較。解：由于是奇函數(shù)，故在切比雪夫級(jí)數(shù)展開中有，即其中， 設(shè)可得故得，解之得，因此逼近函數(shù)為所以，函數(shù)在區(qū)間上的逼近比切比雪夫有理分式逼近效果要好.第六章1．已知函數(shù)在點(diǎn)x=，（見下表），試用兩點(diǎn)和三 微分公式求在點(diǎn)x=，并估計(jì)誤差。解：由二點(diǎn)數(shù)值微分公式可得：，其誤差為：，其誤差為：由三點(diǎn)數(shù)值微分公式可得：，其誤差為：2．已知定積分的近似值：，，其中近似公有截?cái)嗾`差漸近展開式試列表外推計(jì)算解：由截?cái)嗾`差漸近展開式可構(gòu)造外推公式：3．分析二階數(shù)值微分公式的整體誤差并依此確定最佳步長h解：不超過，其中，最佳步長4．計(jì)算弦長，其中（1）（2）（3）解： 利用NewtoCotes求積公式其中：，（1）弦長為：（2）弦長為：，（3）弦長為：5．計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，其中同習(xí)題4解：利用NewtoCotes求積公式其中：，（1）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為：（2）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為：（3）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為：6．分別用定步長和變步長梯形求積公式計(jì)算積分，使誤差不超過（提示：利用關(guān)系估計(jì)導(dǎo)函數(shù)的界）解：（1）利用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算，由誤差公式知：，因此，當(dāng)步長滿足，也即區(qū)間個(gè)數(shù)，則由數(shù)值積分公式得：（2）利用變步長的梯形公式計(jì)算，誤差估計(jì)：誤差估計(jì)：誤差估計(jì)：，故7．分別用定步長和變步長辛浦生求積公式計(jì)算積分使誤差不超過解：（1）利用復(fù)化辛浦生求積公式計(jì)算，由誤差公式知，因此，當(dāng)步長滿足，也即，取，則由公式可得：（2）利用變步長辛浦生求積公式計(jì)算，誤差估計(jì)為：，誤差估計(jì)為：，8．證明梯形求積公式的代數(shù)精度為1，辛浦生求積公式的代數(shù)精度為3證明：（1）梯形求積公式，將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左≠右；從而梯形公式代數(shù)精度為1。（2）辛浦生求積公式，將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左≠右；從而梯形公式代數(shù)精度為3。9．求求積公式的代數(shù)精度并估計(jì)求積公式的截?cái)嗾`差。解：將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左=右；將代入公式兩端，左≠右故其代數(shù)精度為5；由廣義皮亞諾定理，當(dāng)時(shí)，它的截?cái)嗾`差為：其分別取得：10．試分別確定用復(fù)化梯形、辛浦生和中矩形求積公式計(jì)算積分所需的步長h，使得精度達(dá)到。解：（1）復(fù)化梯形公式故（2）復(fù)化辛浦生公式故（3）復(fù)化中矩形求積公式故11．用龍貝格求積公式計(jì)算7題和10題中的積分。解：（1）第7題由公式得下表：（2）第10題由公式得下表：12．用龍貝格求積公式計(jì)算積分。解：由公式得下表：解為：13．分別用和的高斯型求積公式計(jì)算12題中的積分。解：（1）設(shè)求積公式為：，由于n=1，高斯形求積公式代數(shù)精度為3即對，求積公式精確成立，因此，得非線性方程組解得：或從而由可得：（2）設(shè)求積公式為：由于n=2，高斯形求積公式代數(shù)精度為5即對，求積公式精確成立，因此，得非線性方程組解得：；；；；；代入可得：14．計(jì)算奇異積分，，解： 利用n=10的復(fù)化梯形公式求得積分故原式該題目有問題利用n=10的復(fù)化梯形公式可得：可用n=3的GaussLaguerre求積公式計(jì)算，得：習(xí)題七取h=，用歐拉法、中點(diǎn)法、后退歐拉法、改進(jìn)歐拉法、標(biāo)準(zhǔn)龍格庫塔法求解初值問題：解：（1）計(jì)算結(jié)果如下：初值問題的近似解（h=）x歐拉法中點(diǎn)法后退歐拉法改進(jìn)歐拉法標(biāo)準(zhǔn)RK法0111111（2）同上可得初值問題的近似解（h=）x歐拉法中點(diǎn)法后退歐拉法改進(jìn)歐拉法標(biāo)準(zhǔn)RK法011111111無1無*1026776(3)同上可得初值問題的近似解（h=）x歐拉法中點(diǎn)法后退歐拉法改進(jìn)歐拉法標(biāo)準(zhǔn)RK法0111111用差分法求解邊值問題解：對區(qū)間(1,2)進(jìn)行劃分，分點(diǎn)數(shù)為N，h=1/N，利用差分公式可得：，代入方程可得：令h=：解得
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