計算方法ppt課件-資料下載頁
2025-05-12 03:48本頁面
【正文】 k *x 10k 1= 10k ≤ ≤0.(a1+1)10k=(a1+1)*10k1 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 ? 算法設(shè)計的方法 ? 算法設(shè)計的原則 算法設(shè)計的技術(shù) ? 化大為小的縮減技術(shù) ?例如秦九韶算法 ? 化難為易的校正技術(shù) ?例如牛頓迭代法求 a的算術(shù)平方根 ? Xk+1= (xk+a/xk)/2 ? 化粗為精的松弛技術(shù) ?龍貝格求積算法 ?千古絕技“割圓術(shù)” 算法設(shè)計的原則 1. 防止大數(shù)“吃掉”小數(shù) )1(1 ???? xxx xx ?? 111 2 86432168422 5 5 xxxxxxxxx ????????2. 避免兩個相近數(shù)相減 3. 避免大數(shù)作乘數(shù)和小數(shù)作除數(shù) 4. 減少運算次數(shù)，避免誤差積累 例 1 計算 x255 采用穩(wěn)定的算法 9,2,1,0,1 10 ??? ? ndxexeI xnn??? ?? ?????? 10 110 10110 11)(11 dxexendxenxexedxexeI xnxnxnxnn11 ??? nn nII 例 計算積分 解： 根據(jù)分步積分公式，可得 即 有兩種方法： I0，再求 I1， I2， …… ， I9 2. 先求 I9，再求 I8， I7， …… ， I0 例 計算積分 0I921 , III ?*nI )9,2,1,0()*( ??nIE n??)*( 0IE??? !9)*(,!2)*(,)*( 921 ??? IEIEIE ?0I9I(1) 先計算 ，然后使用遞推公式 設(shè)計算值 的誤差為 易證，若 則 由此可見，若計算 時產(chǎn)生了誤差，則用該方法計算 時將誤差放大了 9!=362880倍，因此該數(shù)值方法不可取。這就是不穩(wěn)定的算法。由于誤差傳播引起的危害。 11 ??? nn nII誤差的傳播與積累 例 3： 蝴蝶效應(yīng) —— 一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風(fēng) ？！ BX MG 以上是一個病態(tài)問題 蝴蝶效應(yīng) ? 先從美國麻省理工學(xué)院氣象學(xué)家洛倫茲（ Lorenz）的發(fā)現(xiàn)談起。為了預(yù)報天氣，他用計算機求解仿真地球大氣的 13個方程式。為了更細致地考察結(jié)果，他把一個中間解取出，提高精度再送回。而當(dāng)他喝了杯咖啡以后回來再看時竟大吃一驚：本來很小的差異，結(jié)果卻偏離了十萬八千里！計算機沒有毛病，于是，洛倫茲（ Lorenz）認定，他發(fā)現(xiàn)了新的現(xiàn)象：“對初始值的極端不穩(wěn)定性”，即：“混沌”，又稱“蝴蝶效應(yīng)”，亞洲蝴蝶拍拍翅膀，將使美洲幾個月后出現(xiàn)比狂風(fēng)還厲害的龍卷風(fēng)！ ? 1979年 12月，洛倫茲（ Lorenz）在華盛頓的美國科學(xué)促進會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)。 例 計算積分 9InII nn???11078 , III ?9I ??)*( 9IE0I!9)*(0??IE(2) 先計算 ，然后用由 ()得到的遞推公式 計算 顯然，如果在計算 時產(chǎn)生誤差 則用該方法計算 時的誤差為 第 1章 小結(jié) ? 學(xué)習(xí)數(shù)值算法，領(lǐng)悟一條基本原理，區(qū)分兩類基本算法，掌握三種基本技術(shù)。 ?計算機算法的設(shè)計原理都是將復(fù)雜化歸為簡單的重復(fù)，或說通過簡單的重復(fù)生成復(fù)雜。 ?計算機上的算法大致分為直接法和迭代法兩大類。直接法通過有限步計算直接得出問題的解，而迭代法則通過某種迭代過程逐步逼近所求的解。 ?數(shù)值算法的設(shè)計技術(shù)大致有三種：化大為小的縮減技術(shù)，化難為易的校正技術(shù)及化粗為精的松弛技術(shù)，縮減技術(shù)和校正技術(shù)分別適用于直接法和迭代法的設(shè)計，而恰當(dāng)?shù)厥褂盟沙诩夹g(shù)有可能顯著提高迭代過程的收斂速度 。 誤差理論 ? 來源 ? 定義 ?絕對誤差 ?相對誤差 ?有效數(shù)字 ? 定理 ?有效數(shù)字和相對誤差之間的關(guān)系 ? 本章重點為誤差理論 作業(yè)及練習(xí) ? 上機題：編制用秦九韶法求多項式值的通用程序。輸入多項式的系數(shù) ai和 x的值，求出多項式的值 ? 已知下列各數(shù) ， ， 求其具有五位有效數(shù)字的近似值。 ? 設(shè) x*= x的具有五位有效數(shù)字的近似值，試計算其絕對誤差限和相對誤差限。
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