【導(dǎo)讀】知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程。常微分方程的求解是現(xiàn)代科學(xué)研究和工程技術(shù)。來表達(dá)，所以利用數(shù)值解法‘叫求解實(shí)際問題就顯得非常重要。如果未知函數(shù)的自變量是一個(gè)，稱為常微分方程;自變量多于一個(gè)，在科學(xué)研究和工程計(jì)算中碰到的許多微分方程，根本。情況下，我們只能借助于數(shù)值計(jì)算來求方程的數(shù)值解。的發(fā)展互相促進(jìn)和互相推動(dòng)的。本文第一章講述了常微分方程的發(fā)展歷史，第二章介。其在生態(tài)學(xué)和軍事上的應(yīng)用。無論在數(shù)學(xué)研究還是在自然科學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)，常。微分方程都顯現(xiàn)出其重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步，常微。分方程的理論和應(yīng)用不斷擴(kuò)大和深入，其作用也越來越被人們所重視。常微分方程的形成和發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然。組合拓?fù)鋵W(xué)等都給常微分方程的發(fā)展以深刻的影響。其中常數(shù)L稱為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)。我們簡(jiǎn)稱條件、的基本條件。，常微分方程初值問題。),(yxF在D上關(guān)于y滿足Lipschits條件;

　　

【正文】 法，計(jì)算公式為 解出 當(dāng) n=0時(shí)， .其余 n=1,2,3,4的計(jì)算結(jié)果見表 71. 表 42的三種方法及精確解的計(jì)算結(jié)果 39 圖 42 對(duì)梯形法，計(jì)算公式為 證明 作輔助函數(shù) nmbaba abdttgdttfbF ?????? )()()()( 一方面，由已知條件及 HospitalL? 法則有 )())(1())(1()(l i m)()()()(l i m)(l i m 11 bgabmabnbfdttgababdttfbF mnabbamnbaabab?????????? ????? ?? = )(lim!! )(lim11)()(bgmnbfnm mabnab?? ???? （ 1） 另一方面，又因 ab? 時(shí)， a?? ，由定理 1及 HospitalL? 得 mnmnabmnabab ab ag aafg axab fbF ???? ??????????? )()( )()( )(l i m)( )()( )(l i m)(l i m ???? ??? 40 =mnabmabnab ab agmnf ???? ???? )(l i m)(l i m !! )(l i m )()( ??? （ 2） 由于在 a 點(diǎn) )(),( )()( xgxf mn 分別連續(xù)且 .0)(,0)( )()( ?? agaf mn 故由（ 1），（ 2）兩式得 mnab nmab a ?? ?????1)11(lim ? . (二）： 左矩形公式 另外，還可對(duì) ()的方程兩端由 到 積分得 () 若右端積分用左矩形公式，用 ， ，則得 (3..2). 如果在 ()的積分中用右矩形公式，則得 () 稱為后退 (隱式 )Euler 法 . (三）： 隱式 Euler 方法 41 若將 )(kxy 在 1?kx 展開 11 ()()( ?? ?? kxkk xfhxyxy 、 ,)(!!21))( 21 kkk hyxy ??????1??? kkk xx ? 忽略 2h 項(xiàng)，用 1, ?kk yy 和 ),( 111 ??? ? kkk yxff 分別近似 )(kxy ， )( 1?kxy 及 ))(,( 11 ?? kk xyxf ，可以得另一計(jì)算公式 1,1,0),( 111 ???? ??? nkyxfhyy kkkkk ? （ ） （ 2． 5）式稱為隱 式 Enler 方法。隱式 Euler 方法也可以利用向后差分近似微分或用右矩?cái)?shù)值求積公式來建立。讀者可自行推導(dǎo)。 隱式 Euler 方法 ()給出了 1?ky 要滿足的方程，要通過解方程才能得到 1?ky 。 在顯式和穩(wěn)式 Euler 方法中，忽略的項(xiàng)都是 2h 項(xiàng)，為了得到更高精確度的方法，我們可將 1211 ,)(21))(,()()( ??? ??????? kkkkkkkkkk xxhyxyxfhxyxy ?? 12111 ,)(21))(,()()( ???? ??????? kkkkkkkkkk xxhyxyxfhxyxy ??取平均得 )]()([4))](,())(,([2)()( 2111 kkkkkkkkkk yyhxyxfxyxfhxyxy ?? ????????? ??? 當(dāng) )(xy 三次連續(xù)可微時(shí) , )()()( kkk hOyy ?????? ?? 。忽略 )3khO 項(xiàng)，用 1, ?kk yy 分別近似)(),( 1?kk xyxy ，得 )],(),([2 111 ??? ??? kkkkkkk yxfyxfhyy 42 （ ） （ ） 稱 為 梯 形 方 法 。 取 這 個(gè) 名 稱 的 原 因 是 利 用 梯 形 求 積 公 式? ? ?1 ))(,([2)(,(kkxx kkk xyxfhdxxyxf ???? ?? xxyxfDhxyxf xkkk ))(,(12))](,( 2311 其中 xD 表示關(guān)于 x 的全微分，忽略數(shù)值求積余項(xiàng)也可建立（ ）。 梯形方法也是隱式方法，要通過解（ ）來得到 1?ky 。 與（ ）式中單步法公式相對(duì)應(yīng)，顯式 Euler 方法取 ),(),( kkkkk yxfhyx ?? ??隱式 Euler 方 法 取 ),(),( 111 ??? ?? kkkkk yxfhyx?? 梯形方法取21),(21),( 1 ??? ? kkkkk yxfhyx?? ,(1?kxf )1?ky 當(dāng) ),( yxf 在 D 上滿足基本條件， ),( yxf 關(guān)于 y 的 Lipschitz 常數(shù)為 L 時(shí)，只要)(,1?Lhk 確定了唯一的 1?ky ；同樣，只要 ,2?kLh （ ）確定了唯一的 1?ky 。以（ ）為例，當(dāng) ,2?kLh 以 y 為變量的函數(shù) )],(),([2 1 yxfyxfhy kkkkk ??? 在 ????? y 上關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，且 Lipschitz 常數(shù)為 ,12 ?khL 從而由第七章壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得方程 )],(),([2 1 yxfyxfhyy kkkkk ???? 有唯一點(diǎn)不動(dòng) ,1?yk 而且從任意 )0(1?ky 出發(fā)，迭代 43 )],(),([2 )( 11)1( 1 ikkkkkkik yxfyxfhyy ???? ??? 1,1,0 ?? ni ? （ ） 都收斂到 1?ky 在實(shí)際計(jì)算中總希望有較好的 )0(1?ky ，用較少的迭代步，取得有足夠精度的 1?ky 。 (四 )：預(yù)估 – 校正 Euler方法 在實(shí)際計(jì)算中， ),( )( 11 ikk yxf ?? 的計(jì)算量比較大，往往取 )1()( 1 ?? my mk 作為 1?ky 來用。我們稱 )(1mky? 為 )0(1?ky 的 m 次迭代改進(jìn)。最常用的方法之一是先用顯式 Euler 方法所得的 1?ky為 )0(1?ky ，再用梯形方法改進(jìn)一次 ??????????????????1,1,0)],(),([2),(1111nkyxfyxfhyyyxfhyykkkkkkkkkkkx? （ ） 方法（ ）稱為預(yù)估 校正 Euler 方法，或改進(jìn) Euler 方法。預(yù)估 校正 Euler 方法還可寫成 ))],(,(),([2 11 kkkkkkkkkk yxfhyxfyxfhyy ???? ?? （ ） 或 211 22 khkhyy kkkk ???? （ ） ),(1 kk yxfk ? ),( 112 khyxfk kkk ?? ? 例 1 用顯式 Euler 方法，梯形方法和預(yù)估 校正 Euler 方法解初值問題 44 ????????????1)0(10,1yxxyydxd 解 取 ?h ， Euler 方法為 1011001091 ???? kyy kk 梯形方法為 1011052191 ???? kyy kk 預(yù)估 校正 Euler 方法為 ???? kyy kk 計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解 xexy x ?? ?)( 比較，列在表 81中 . 表 81 kx Euler 方法 梯形方法 預(yù)估 校正方法 ky )( kk xyy ? ky )( kk xyy ? ky )( kk xyy ? 10 3 10 5 10 4 10 3 10 4 10 4 10 2 10 4 10 4 10 2 104 10 4 10 2 10 4 10 4 10 2 10 4 10 4 10 2 10 4 10 4 10 2 10 4 10 4 10 2 10 4 10 4 10 2 10 4 10 4 數(shù)值例子表明，梯形方法和預(yù)估 校正 Euler 方法比顯式 Euler 方法有更好的精度。 45 參考文獻(xiàn) [1] 周相權(quán)，于興江 .對(duì)稱導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì) [J].聊城師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 1994， 7（ 2）： [2] 葉慧芬 . 遞推式數(shù)列的極限及應(yīng)用 [J]. 臺(tái)州學(xué)院學(xué)報(bào) , 2021, 26(6):89. [3] 錢吉林 . 數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M]. 武漢 : 崇文書局 , 2021. [4] 沈燮昌 , 邵品琮編著 . 數(shù)學(xué)分析縱橫談 [M]. 北京 : 北京大學(xué)出版社 , 1991, 2930. [5] 馬菊俠 .關(guān)于積分中值定理的漸近性討論 [J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 21（ 1）： 102— 105. [6] 朱先軍 .關(guān)于積分中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性 [J].濟(jì)寧師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)， 2021， 23（ 6）：5— 6. [7] 嚴(yán)振祥 .定積分中值定理的推廣 [J].上海海運(yùn)學(xué)院學(xué)報(bào)， 1995， 16（ 1）： 29— 33. [8] 張鳳芝 .積分型中值定理的一個(gè)注記 [J].鞍山鋼鐵學(xué)院學(xué)報(bào)， 2021， 25（ 1）： 50— 5 [9] 劉仁義 .關(guān)于凸函數(shù)的判定 [J].甘肅高師學(xué)報(bào)， 1998， 3（ 5）： 8~14. [10] 張毅，潘東升，陳仲堂 .泰樂公式的推廣 [J]，沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào) ,1999， 11(4)： 34~36. 46 [11] 李文榮 .Taylor定理的兩個(gè)推廣 [J].高等數(shù)學(xué)， 1987， 3（ 2）： 68~70. [12] 李文榮 .分析中的問題研究 [M].中國(guó)工人出版社（第二版）， 2021. [13] 李萬軍 .Schwarz導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的若干討論 [J]. 喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2021， 25（ 3）： 12~14. 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）成績(jī)?cè)u(píng)議 指導(dǎo)教師意見（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒?yàn)方法、數(shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒?yàn)是否合理，主 要觀點(diǎn)或結(jié)果是否正確，有何獨(dú)到的見解或新的方法，基礎(chǔ)理論、專業(yè)知識(shí)的掌握程度及寫作水平等）： 成績(jī)： 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日 評(píng)閱人意見： 評(píng)閱人簽名： 年 月 日 答辯小組意見： 成績(jī)： 答辯小組負(fù)責(zé)人簽名： 年 月 日 47 學(xué)院審核意見： 負(fù)責(zé)人簽名： （公章） 年 月 日 注：成績(jī)按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級(jí)分制計(jì)。