常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法-資料下載頁(yè)
2025-05-15 07:53本頁(yè)面
【正文】 ? ? ? ? ? m m m m m m i m i i i i i i m m i i hK hK hK y h x f K hK hK y h x f K hK y h x f K y x f K K K K h y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最常用為四階 經(jīng)典龍格 庫(kù)塔法 四階經(jīng)典龍格 庫(kù)塔法公式 ),(),(),(),()22(34222312221432161hKyhxfKKyxfKKyxfKyxfKKKKKyyiihihihihiiihii????????????????四、 四階龍格 庫(kù)塔法 用四個(gè) f函數(shù)值的線性組合得到四階 龍格 庫(kù)塔法 。 經(jīng)典龍格 庫(kù)塔法公式具有四階精度，因此可取大步長(zhǎng)。 注： ? 龍格 庫(kù)塔法 的主要運(yùn)算在于計(jì)算 Ki 的值，即計(jì)算 f 的值。 Butcher 于 1965年給出了計(jì)算量與可達(dá)到的最高精度階數(shù)的關(guān)系： 7 5 3 可達(dá)到的最高精度 6 4 2 每步須算 Ki 的個(gè)數(shù) 2 3 4 5 64 2n?8?n?高于四階時(shí)每步計(jì)算量增加較多，但精度提高不快，因此使用的比較少。 ?由于龍格 庫(kù)塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開(kāi)，故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響。對(duì)于光滑性不太好的解，最好采用 低階算法 而將步長(zhǎng) h 取小 。 167。 3 收斂性與穩(wěn)定性 /* Convergency and Stability */ ? 收斂性 /* Convergency */ 定義 若某算法對(duì)于任意固定的 x = xi = x0 + i h， 當(dāng) h?0 ( 同時(shí) i ? ?) 時(shí)有 yi ? y( xi )， 則稱該算法是 收斂 的 。 例： 就初值問(wèn)題 考察歐拉顯式格式的收斂性。 ??????0)0( yyyy ?解： 該問(wèn)題的精確解為 xeyxy ?0)( ?歐拉公式為 iiii yhyhyy )1(1 ?? ????? 0)1( yhy ii ???對(duì)任意固定的 x = xi = i h ，有 ii xhhxi hyhyy ???? ])1[()1( /10/0 ????eh hh ??? ?? /10 )1(lim)(0 ix xyey i ??? ? ? 穩(wěn)定性 /* Stability */ 例： 考察初值問(wèn)題 在區(qū)間 [0, ]上的解。 分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。 ???????1)0()(30)(yxyxy 精確解 改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式 歐拉顯式 節(jié)點(diǎn) xi xey 30?? ? ? ?101 ??101 ?10?1 ?10?2 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?101 ?101 ?101 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?10?6 ?10?7 定義 若某算法在計(jì)算過(guò)程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都 逐步衰減 ，則稱該算法是 絕對(duì)穩(wěn)定的 /*absolutely stable */。 一般分析時(shí)為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮 試驗(yàn)方程 /* test equation */ yy ???常數(shù)，可以是復(fù)數(shù) 當(dāng)步長(zhǎng)取為 h 時(shí)，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差 ，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對(duì)于 絕對(duì)穩(wěn)定 ， 的全體構(gòu)成 絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域 。我們稱 算法 A 比算法 B 穩(wěn)定 ，就是指 A 的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域比 B 的 大 。 000 yy ???h ? h ? h 例： 考察顯式歐拉法 011 )1( yhyhyy iiii ?? ???? ?000 yy ??? 011 )1( yhy ii ?? ??01111 )1( ?? ???? ???? iiii hyy由此可見(jiàn)，要保證初始誤差 ?0 以后逐步衰減， 必須滿足： hh ??1|1| ?? h0 1 2 Re Img 例： 考察隱式歐拉法 11 ?? ?? iii yhyy ?ii yhy ????????? 111 011 11 ?? ?? ????????ii h可見(jiàn)絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋? 1|1| ?? h2 1 0 Re Img 注： 一般來(lái)說(shuō)，隱式歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。 0,20hh ????? ??? h為實(shí)數(shù)時(shí)，
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