常微分方程答案一二章-文庫吧資料
2025-06-30 15:00本頁面
【正文】 特解為，則將其代入可得，從而的特解為；②對(duì)于，由于不是特征根，故設(shè)其特解為，則將其代入可得，從而的特解為。又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，故由推論，延拓解的飽和區(qū)間為。由于充分大，故存在充分小的，使得的解的存在區(qū)間為。解：對(duì)任意充分大的，令，則在上連續(xù)且關(guān)于滿足Lipschitz條件，故存在唯一解。證畢。㈣. 證明是積分方程(*)在上的唯一解。㈢. 證明是積分方程(*)在上的連續(xù)解。由有所以假設(shè)對(duì)正整數(shù)，有不等式 則所以對(duì)任意正整數(shù)都成立?？紤]級(jí)數(shù) 由知，的一致收斂性與級(jí)數(shù)的一致收斂性等價(jià)。㈠. 構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列由是上的連續(xù)函數(shù)可得在上連續(xù)，故再由是，上的連續(xù)函數(shù)可得在上連續(xù)，由數(shù)學(xué)歸納法易證在上連續(xù)。證明當(dāng)足夠小時(shí)(是常數(shù))，(*)在上存在唯一的連續(xù)解。又因?yàn)樵谏线B續(xù)，且由可得在上關(guān)于滿足Lipschitz條件，所以Cauchy問題在有唯一解。3. 求初值問題 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計(jì)。1. 求解下列方程：(1). ；解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為令，則，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得即又時(shí)，原方程恒不成立，所以原方程的參數(shù)形式的通解是(3). ；解：令，則，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得所以或所以原方程的通解是 和 1. 求解下列方程：(3). ；解：原方程兩邊同時(shí)乘以，得令，則用常數(shù)變易法易得其解為，故原方程的通解為(11). ；解：原方程可化為由可得，這是一個(gè)恰當(dāng)方程，即所以原方程通解為(19). ；解：令，則由原方程可得，故原方程可化為 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得所以或又時(shí)，原方程恒不成立，所以原方程的參數(shù)形式的通解是 和 (29). ；解： 令，則，故所以原方程通解為1. 求方程通過點(diǎn)(0,0)的第三次近似解。證明：齊次微分方程兩邊同時(shí)乘以得所以原方程可化為。由可得積分因子，原方程兩邊同時(shí)乘以，得即所以此即為原方程的通解。令函數(shù)滿足，則由可得再由可得所以，故原方程的通解是2.
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