常微分方程第二章練習(xí)與答案-文庫吧資料
2025-01-16 04:15本頁面
【正文】 ??? dyxyedxyyedxe xxx 兩邊積分得： .)2( 2 Cxyey x ??? ７． 0)2(l n)( 2 ???? dyyxdxxxy 解： ,2ln),(),( 2 yxyxQxxyyxP ???? 則 ,1xyP??? ,1xxQ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 02)ln( 2 ???? y dydxxx dydxxy 兩邊積分得： 23 ln3 yxyx ?? .C? ８． ),(0)( 22 為常數(shù)和 cbac x y d ydxbyax ??? 解： ,),(,),( 22 c x yyxQbyaxyxP ??? 則 ,2byyP??? ,cyxQ??? 所以 當(dāng)xQyP ?????，即 cb?2 時， 原方程為恰當(dāng)方程 則 0)( 22 ??? c x y d ydxbydxax 兩邊積分得： 233 bxyax ? .C? 而當(dāng) cb?2 時原方程不是恰當(dāng)方程． ９． 01222 ???? dtt ssdsts 解： ,),(,12),(22t ssstQtsstP ???? 則 ,212t stP ???? ,21 2t ssQ ???? 所以xQyP ?????， 即原方程為恰當(dāng)方程 , 兩邊積分得： Ct ss ?? 2 ． 10． ,0)()( 2222 ???? dyyxyfdxyxxf 其中 )(?f 是連續(xù)的可微函數(shù)． 解： ),(),(),(),( 2222 yxyfyxQyxxfyxP ???? 則 ,2 fxyyP ???? ,2 fxyxQ ???? 所以xQyP ?????， 即原方程為恰當(dāng)方程 , 兩邊積分得： 22()f x y dx C??? , 即原方程的解為 CyxF ?? )( 22 (其中 F 為 f 的原積分 )． 習(xí) 題 ２ 2 . 1. 求解下列微分方程，并指出這些方程在平面上的有意義 的區(qū)域 :： （１）yxdxdy2? 解：原方程即為： dxxydy 2? 兩邊積分得： 0,23 32 ??? yCxy ． （２）)1( 32xy xdxdy ?? 解：原 方程即為： dxxxydy321?? 兩邊積分得： 1,0,1ln23 32 ?????? xyCxy ． （３） 0sin2 ?? xydxdy 解： 當(dāng) 0?y 時 原方程為 ： 0sin2 ?? xdxydy 兩邊積分得： 0)cos(1 ??? yxc ． 又 y=0也是方程的解，包含在通解中，則方程的通解為 0)cos(1 ??? yxc ． （４） 221 xyyxdxdy ???? ； 解：原方程即為：2 (1 )1 dy x dxy ??? 兩邊積分得： cxxar ctgy ??? 22， 即 )2( 2 cxxtgy ??? ． （５） 2)2c os(c os yxdxdy ? 解： ①當(dāng) 02cos ?y 時 原方程即為： dxxydy 22 )(c os)2(c os ? 兩邊積分得： 2 2 2 2 si n 2tg y x x c? ? ?． ② y2cos =0，即 42 ?? ??ky 也是方程的解 . （ Nk? ） （６） 21 ydxdyx ?? 解： ①當(dāng) 1??y 時 原方程即為：xdxydy ?? 21 兩邊積分得： cxy ?? lnarcsin ． ② 1??y 也是方程的解 . （７）．yxey exdxdy ???? 解．原方程即為： dxexdyey xy )()( ???? 兩邊積分得： cexey xy ???? ?22 22 ， 原方程的解為： ceexy xy ???? ? )(222 . 2. 解下列微分方程的初值問題． （１） ,03c o s2s in ?? ydyxdx 3)2( ?? ?y ； 解：兩邊積分得： cyx ??? 33sin22c os ， 即 cxy ?? 2co s33sin2 因為 3)2( ?? ?y , 所以 3?c . 所以原方程滿足初 值問題的解為： 32co s33sin2 ?? xy ． （２）． 0?? ? dyyexdx x ， 1)0( ?y ； 解：原方程即為： 0?? ydydxxe x ， 兩邊積分得： cd
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