常微分方程第二章練習(xí)與答案(參考版)
2025-01-13 04:15本頁面
【正文】 ② dssfeef xx sxaax )(11m a x)( 2 )(220 ? ? ???? ?? ???? dsedssfe xx sxaxsxax ? ? ??????? ?? ???? 2 )(2220 )(m a x11m a x fkaeef aa ?????42 11 所以 ?是有界算子 . 。 （２）證 ? 是一個(gè)線性有界算子。又因?yàn)榇她R次方程的解或者恒等于０，或者恒不 等于０，所以 0)( ?xu ，從而 )0()( ywy ? ，由 x 的任意性，則有)()( xywxy ?? 。因此只需詳細(xì)考慮經(jīng)過 1R 內(nèi)某一點(diǎn) ),( 0 ??ax 的積分曲線， 它由（ *）式確定 . 若 ??aa yfdy? )(收斂，即存在 1xx? ，使得01)( xxyfdyaa ?????, 即所討論的積分曲線 當(dāng) 1xx? 時(shí)達(dá)到直線 ay? 上點(diǎn)（ ax,1 ） . 由（ *）式易看出， 所論積分曲線在（ ax,1 ）處與 ay? 相切，在這種情形下，經(jīng)過此直線上的 一點(diǎn)就不只有一條積分曲線，與局部唯一矛盾，所以 ??aa yfdy? )(發(fā)散 . 若積分 ??aa yfdy? )(發(fā)散，此時(shí)由（ *）式易看出，所論的經(jīng)過 ),( 0 ??ax的積分 曲線，不可能達(dá)到直線 ay? 上，而以直線 ay? 為漸近線，又注意到 ay? 也 是（２ .13）的積分曲線，所以（ ）過 ),( 0 ??ax 的解是唯一的 . 注：對(duì)于 2R 內(nèi)某點(diǎn)（ ??ax,0 ）完全可類似地證明 . 6. 作出下列微分方程積分曲線族的大致圖形． （１）． ydxdy? ； （２）．?????? 00 0ln yyyydxdy ()? 習(xí) 題 ２ 3 １． 求解微分方程： （１） xxeydxdy ??? 2 。習(xí) 題 ２ １ 判斷下列方程是否為恰當(dāng)方程，并且對(duì)恰當(dāng)方程求解： １． 0)12()13( 2 ???? dyxdxx 解： 13),( 2 ?? xyxP ， 12),( ?? xyxQ ， 則 0???yP， 2???xQ ， 所以 xQyP ????? 即 原方程不是恰當(dāng)方程． ２． 0)2()2( ???? dyyxdxyx 解： ,2),( yxyxP ?? ,2),( yxyxQ ?? 則 ,2???yP ,2???xQ 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0)22( ???? y d yx d yy d xx d x 兩邊積分得： .222 22 Cyxyx ??? 3． 0)()( ???? dycybxdxbyax （ a,b 和 c為常數(shù)）． 解： ,),( byaxyxP ?? ,),( cybxyxQ ?? 則 ,byP??? ,bxQ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0???? c y d yb x d yb y d xa x d x 兩邊積分得： .22 22 Ccybx yax ??? 4． )0(0)()( ????? bdycybxdxbyax 解： ,),( byaxyxP ?? ,),( cybxyxQ ?? 則 ,byP ???? ,bxQ??? 因?yàn)? 0?b , 所以xQyP ?????，即 原方程不為恰當(dāng)方程 ５． 0s in2c o s)1( 2 ??? u d ttu d ut 解： ,c o s)1(),( 2 ututP ?? ututQ sin2),( ? 則 ,cos2 uttP ??? ,cos2 utxQ ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0c o s)s i n2c o s( 2 ??? uduudttudut 兩邊積分得： .sin)1( 2 Cut ?? ６． 0)2()2( 2 ????? dyxyedxyeye xxx 解： xyeyxQyeyeyxP xxx 2),(,2,( 2 ????? ， 則 ,2yeyP x ???? ,2yexQ x ???? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當(dāng)方程 則 ,0])2()[(2 2 ??
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