常微分方程第二章練習(xí)與答案-展示頁
2025-01-19 04:15本頁面
【正文】 yydxex x ??? 2)1( 2， 因為 1)0( ?y ， 所以 21??c ， 所以原方程滿足初值問題的解為： 01)1(2 2 ???? dyydxex x ． （３）． rddr?? ， 2)0( ?r ； 解：原方程即為： ?drdr? ，兩邊積分得： cr ???ln ， 因為 2)0( ?r ， 所以 2ln?c ， 所以原方程滿足初值問題的解為： 2lnln ???r 即 ?er 2? ． （４）． ,1ln 2yxdxdy ?? 0)1( ?y 。 解：原方程即為： dxxdyy ln)1( 2 ?? , 兩邊積分得： 3 ln3yy x x x c? ? ? ?, 因為 0)1( ?y ， 所以 1?c ， 所以原方程滿足初值為： 3 ln 13yy x x x? ? ? ? （５）． 321 xydxdyx ?? ， 1)0( ?y ； 解：原方程即為： dxxxydy 23 1??， 兩邊積分得： cxy ???? ? 22 121 ， 因為 1)0( ?y ， 所以 23??c ， 所以原方程滿足初值問題的解為： 311222 ??? yx． １． 解下列微分方程，并作出相應(yīng)積分曲線的簡圖． （１）． xdxdy cos? 解：兩邊積分得： cxy ??sin ． 積分曲線的簡圖如下： （２）． aydxdy? ， （常數(shù) 0?a ）； 解： ①當(dāng) 0?y 時， 原方程即為： dxaydy? 積分得： cxya ??ln1 ， 即 )0( ?? ccey ax ② 0?y 也是方程的解． 積分曲線的簡圖如下： y （３）． 21 ydxdy ?? ； 解： ①當(dāng) 1??y 時， 原方程即為： dxydy ?? )1( 2 積分得： cxyy ???? 211ln， 即 1122 ???xxcecey ． ② 1??y 也是方程的解． 積分曲線的簡圖如下： （４）． nydxdy? ， )2,1,31( ?n ； 解： ①當(dāng) 0?y 時， ⅰ） 2,31?n 時，原方程即為 dxydyn ?， 積分得： cynx n ??? ?111 ． ⅱ） 1?n 時，原方程即為 dxydy? 積分得： cxy ??ln ，即 )0( ?? ccey x ． ② 0?y 也是方程的解． 積分曲線的簡圖如下： 4. 跟蹤：設(shè)某 A 從 xoy 平面上的原點出發(fā)，沿 x 軸正方向前進；同時某 B 從點開始跟蹤 A，即 B 與 A 永遠保持等距 b．試求 B 的光滑運動軌跡． 解：設(shè) B 的運動軌跡為 )(xyy? ,由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，則有 22 ybydxdy ??? ，所以求 B 的運動軌跡即是求此微分方程滿足 by ?)0( 的解． 解之得： 222222ln21 ybybb ybbbx ???? ???． 5. 設(shè)微分方程 )(yfdxdy? （ ），其中 f(y) 在 ay? 的某鄰域（例如，區(qū)間 ???ay ） 內(nèi)連續(xù)，而且 ayyf ??? 0)( ，則在直線 ay? 上的每一點，方程（ ）的解局部唯一，當(dāng)且僅當(dāng)瑕積分 ??? ??aa yfdy )( （發(fā)散）． 證明：（ ? ） 首先經(jīng)過域 1R ： ,?????? x aya ???? 和域 2R ： ,?????? x ???? aya 內(nèi)任一點（ 00,yx ）恰有方程（ ）的一條積分曲線， 它由下式確定 00 )( xxyfdyyy ???. （ *） 這些積分曲線彼此不相交 . 其次，域 1R （ 2R ）內(nèi)的所有 積分曲線 cxyfdy ??? )(都可由其中一條，比如0)( cxyfdy ??? 沿著 x 軸的方向平移而得到。 解： ,2)( ?xp xxexq ??)( ， 由公式得： xxxxxx execedxexecey ????? ????? ? 222 )( ， 原方程的解為： xxx execey ??? ??? 2 ． （２） xytgxdxdy 2sin?? ； 解： ,)( tgxxp ? xxq 2sin)( ? ， cxdxxxddxxxt gx dxdxxp ??????? ??
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1