常微分方程第二章練習(xí)與答案-在線瀏覽
2025-02-27 04:15本頁面
【正文】 ?? c oslnc os )(c osc oss i n)( ， 則有 xxcxcxdxxxcxdxexcey xx2c o slnc o slnc os2c os)c os2(c os)c os 2s i n(c os)2s i n(?????????? ? 原方程的解為： xxcy 2c os2c os ?? ． （３） ,sin2 xydxdyx ?? ?? 1)( ?y ； 解：原方程即為： x xyxdxdy sin2 ?? ，則 x xxqxxp s in)(,2)( ?? ， cxdxxdxxp ???? ? 2ln2)( ， 則有 )s inc o s(1)s in(1)s in(22lnln 22xxxcxx d xxcxexxcey xx?????????? 因?yàn)??? 1)( ?y ， 所以 0?c ． 原方程滿足初值問題的解為： xxxxy s in1c os12??? ． （４） xyxdxdy ???? 11 12， 1)0( ?y ； 解： xxqxxp ???? 1)(,1 1)(2, 2111ln(? ??? xxdxxp 則 2111ln ??? xxey ? ?? )1(( xc )2111ln dxe xx?? ????????????????????1)1(1 11)1(1122xdxxcxxxdxxcxx 要求滿足初值問題 1)0( ?y 的解 只需求??? ????? ? 1)1(1 1 2 xdxxcxx )121a rc s i n21(1 1 2xxxcxx ?????? 代入初值得 1?c 所以滿足初值問題的解為 )121a rc s i n211(1 1 2xxxxxy ??????. 2. 將下列方程化為線性微分方程： （１）yyxdxdy 222 ?? ； 解：令 zy ?2 ， 則原方程化為： 2xzdxdz ?? ． （２）2yx ydxdy ??； 解：由原方程得：，yyxdydx2?? , 即 yxydydx ?? 1 ． （３） 03 332 ??? xydxdyxy ； 解：令 zy ?3 ， 則原方程化為： 21 xzxdxdz ??? ． （４） xtgyydxdy ?? cos1； 解：原方程即為：yyxydxdy c ossinc os1 ?? 即 yxdxydy sin1c os ?? . 令 yz sin? ， 則 1??xzdxdz ． 3. 設(shè) )(xy ?? 滿足微分不等式 )0(,0)( ???? xyxay ．求證： ,)0()( 0 )(?? ? x dssaex ?? )0( ?x 證明：將 0)( ??? yxay 兩邊同乘 0 ()xasdse? 則有 ?x dssae0 )( ??y ?x dssae0 )( 0)( ?yxa 即 0))(( 0 )( ?? dx xed x dssa ? 從０到 x 積分得： ?x dssae0 )( )0()( ?? ?x ，得證． 4. 用常數(shù)變易法求解非齊次線性方程 )()( xqyxpdxdy ?? ． 解：設(shè)方程有形如 ?? ? dxxpexcy )()( 的解，將其代入方程則有 解：設(shè)方程有形如 ?? ? dxxpexcy )()( 的解，將其代入方程則有 ??? dxxpedxxdc )()( ??? dxxpexpxc )()()( )()()( )( xqexpxc dxxp ??? 即 )()( )( xqedxxdc dxxp ??? ， 則 cexqxc dxxp ??? ? )()()( ， 所以方程的解為 ?? ? dxxpey )( ))(( )( cexq dxxp ??? . 5. 考慮方程 )()( xqyxpdxdy ?? ，其中 )(xp 和 )(xq 都是以 0?? 為周期的連續(xù)函數(shù)． 試證：（１）若 0)( ?xq ，則方程的任一非零解以 ? 為周期 ? )(xp 的平均值 ? ?? ?? 0 0)(1 dxxpp ． （２）若 0)( ?xq ，則方程的有唯一的 ? 周期解 ? 0?p ．試求出此解． 證明：（１）設(shè) )(xy ?? 是方程的任一非零解 則 ,0 )(??? xx dxxpcey 且 ,0 )(?? ??? wxx dxwxpcey 也是解
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