常微分方程答案一二章(存儲版)
【正文】 （不屬于類型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的混合，用常數變易法求解）解：齊次方程：特征方程：特征根：齊次方程通解：設原方程通解為，則所以所求通解：3. 求下列方程的通解：(1) 解：做變換，則所以原方程可化為由可得所求通解：。解：對任意充分大的，令，則在上連續(xù)且關于滿足Lipschitz條件，故存在唯一解。由有所以假設對正整數，有不等式 則所以對任意正整數都成立。又因為在上連續(xù)，且由可得在上關于滿足Lipschitz條件，所以Cauchy問題在有唯一解。由可得積分因子，原方程兩邊同時乘以，得即所以此即為原方程的通解。令的解為，則將其代入可得所以的通解為又也是原方程的解，故原方程的通解為 和 (12). ；解：原方程可化為： 這是的Bernoulli方程。8. 試建立分別具有下列性質的曲線所滿足的微分方程： (2). 曲線上任一點的切線介于兩坐標軸之間的部分等于定長；(5). 曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方。解：設所求直線積分曲線是，則將其代入原微分方程可得所以所求直線積分曲線是或。令的解為，則將其代入可得所以原方程的通解為(8). ；解：當時，原方程可化為： 這是未知函數為的非齊次線性方程，對應的齊次方程為，用變量分離法求得其解為。由可得積分因子，原方程兩邊同時乘以，得即所以故原方程的通解是(8). ；解：因為，所以原方程不是恰當的。解：因為，所以，從而解得存在區(qū)間為，即。令。1. 求 的解的存在區(qū)間及延拓解的飽和區(qū)間。所以原方程特解為，故所求通解：(15) （屬于類型Ⅰ和Ⅱ的混合）解：齊次方程：特征方程：特征根：齊次方程通解：①對于，由于1不是特征根，故設其特解為，則將其代入可得，從而的特解為；②對于，由于2是二重特征根，故設其特解為，則將其代入可得，從而的特解為；③對于，由于0不是特征根，故設其特解為，則將其代入可得，從而的特解為。由于在上連續(xù)和關于滿足局部Lipschitz條件，故解，可延拓。因為由㈠和㈡可得
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