常微分方程的初等解法與求解技巧(存儲版)
【正文】 版)[M].北京:高等教育出版社，,180.[4][J].雁北師范學院學報，4445. [5]鄭重武. .[6]（第三版上冊）[M].北京：高等教育出本社,123.[7]孫清華，李金蘭，[M]武漢：華中大學科技出版，2006,810.[8]黃啟星，任永泰，[M].上海:人民教育出版社，2008,173180.致謝: 從論文的選題開始到現(xiàn)在，碰到過許許多多的問題，每次出現(xiàn)問題王老師都會給予細心指導，非常謝謝他對我的幫助，感謝全部幫助過我的舍友們，在我困惑之余伸出援手，他們傳授的知識是我完成論文的基礎(chǔ)，感謝各位評審老師對此論文不足之處的指導糾正.2].常微分方程非常重要，其初等解法有很多種，我們應該掌握其初等解法與技巧. 對于變量分離方程，若，則有 ： ，兩邊積分，得到:，為任意實數(shù).如果 得，驗證一下是否包括在中，若不包括，需補上特解.（1），求該方程的解．解：當時，兩邊積分，得到：，為任意實數(shù)．故 ，為任意實數(shù)．顯然y=0包括在中，故方程的通解為：，為任意實數(shù)． 對于齊次微分方程，解法：令 則有： ， （21）兩邊對求導得：， （22）將（21），（22）代入齊次微分方程中可得：，即 ，從而可以求得其解．舉例：求解方程.解：原方程可化解為：，這個方程為齊次微分方程，令，則有 ，兩邊對求導得： ，將和代入原方程中得：，這個方程為可分離變量方程，當時解之可得： ,其中為使等式有意義的任意常數(shù).即當時，顯然是的解，且不包含在中，將代入或中可得：①類型一（常數(shù)）情形，則原方程變?yōu)椋?，故方程的通解為：，其中為任意常?shù).舉例：求解下列方程的解.解：根據(jù)題意可得：，即 ，故可得： ，為任意常數(shù).因此原方程的通解為：，為任意常數(shù).②類型二情形，令，兩邊對求導可得：，這個方程是變量分離方程.舉例：做適當變換求解方程.解：經(jīng)判斷為第二種類型，令 ，兩邊對x求導可得：，故可得:，解之可得： ，為任意常數(shù).將代入并化簡可得：，為任意常數(shù).③類型三情形，如果方程中的，不全等于零，都是，的一次多項式，則 （23）可以求得解為： 令 則（23）化解為： 故化為:，故可以解出該方程的解，解出其解，再將 帶入其解中，從而得到所求方程的解.舉例：解下列方程 .解：顯然，故為第三種類型，解方程組 得： ，.于是令 代入原方程中，則有：，這個方程為可變量分離方程，故令，則 ，等式兩邊對求導可得：，將代入中得到：,化解得：，解之可得： ，換入原來的變量得：，其中為任意常數(shù).故原方程的解為：，其中c為任意常數(shù).上面三種類型解題方法和步驟也適用于下列類型的方程：(1)，(2)，(3)，(4).如果一階線性微分方程可表示為：，這
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