常微分方程練習題庫參考答案(存儲版)
【正文】 又由已知條件，知是方程的一個解。令y=zx原方程化為－du=兩邊積分得 ?。璴n|z|=ln|cx|用z=代入得y=exp()y=0也是原方程的解。 y＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解為兩個因式的乘積，其中一個因式僅含有x,另一因式僅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分離變量方程的主要特征，就像f(x,y)一樣，p,q分別都能分解成兩個因式和乘積。（1） 它是常微分方程，因為含有未知函數(shù)的導數(shù)，f,g為已知函數(shù)，y為一元函數(shù)，所建立的等式是已知關系式。如果y＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。注意如果通解能歸結為初等函數(shù)的積分表達，但這個積分如果不能用初等函數(shù)表示出來，我們也認為求解了這個微分方程，因為這個式子里沒有未知函數(shù)的導數(shù)或微分。令z=x+y+1,則＝1＋，于是=1+f(z),只要＋f(z)0,可分離變量得 x=+Cp(x)=cosx用線性齊方程初值問題解公式即得 y=exp(sinx)用線性方程通解公式：y=exp()(C+)dx)=exp(x)(C+2exp (x))=2+Cexp(x)公式求得方程通解y(x)=exp(2x) (C+ xexp(2x) exp(2x)dx)=exp(2x)(c’+x)利用初始條件代入上式y(tǒng)(0)=0=C,故y=x exp(2x)x 看作自變量，y看成函數(shù)，則它是非線性方程，經(jīng)變形為 ?。絰+y以x為未知函數(shù),y是自變量，它是線性方程，則通積分為x=exp()(c+=cexp(y)y1解：將方程變形為xydy=(y1)dx或＝，當xy0,y1時積分得＋y+ln+=c解： 這是齊次方程。證明 由已知條件，方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠。令z=得－z=,它是線性方程。如果f(x,y)是0次齊次函數(shù)，則y＝f(x,y)稱為齊次方程。微分方程求解時，都與一定的積分運算相聯(lián)系
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