【正文】 0x y d x x y d y x y d x x y d y? ? ? ?3 2 2 2 3( ) 3 2d x y x y d x x y d y??4 3 3 3 4 2( ) 4 3d x y x y d x x y d y??∴ 通解為 : Cyxyx ?? 3423 目錄 上頁 下頁 返回 結束 從上面的例子可看出 ,當確定了積分因子后 , 很容易求出其通解 ,但問題是 : (1) 積分因子是否一定存在 ? (2) 如何求積分因子 ? 這兩個問題是十分困難的問題 ,一般來說無法 給出答案 ,但對一些特殊的函數(shù)或方程是可以給出 一些充分條件的 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( , ) ( , )()( , )M x y N x yyxN x y?????因子得充要條件是 定理 有一個僅依賴 微分方程 0),(),( ?? dyyxNdxyxM的積分因子得充要條件是 : 于 x有關； x僅與 同理，方程有一個僅依賴于 的積分 y( , ) ( , )()( , )N x y M x yxyM x y?? ??? 僅與 y 有關。0( , ) ( , ) ( )N x y N x y y?? ? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例： 驗證方程 2( c o s 2 ) ( s i n 2 ) 0yyy x x e d x x x e d y? ? ? ? ?是全微分方程，并求它的通解。 恰當微分方程與積分因子 設 ),( yxFu ? 是一個連續(xù)可微的二元函數(shù) ,則 dyy yxFdxx yxFyxdFdu ??????? ),(),(),(若 0),(),( ?????? dyyyxFdxxyxF則有 CyxF ?),(這是一大類可求解的微分方程 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則稱 為恰當微分方程，也稱全微分方程。 解： 齊次方程 0dy aydx ??的通解為 axy ce ??()0()xa x a x sy c e e f s d s? ? ??? ?方程 ()dy ay f xdx??的通解為 例： 為了使 以 為周期，須滿足 2?y是以 2?()fx 為周期的周期函數(shù)， 是正常 a設 目錄 上頁 下頁 返回 結束 整理得 ? ?? ???????? ??? ? ?? 20 0 )()2()2( .)()(x x sxaaxsxaxa dssfecedssfece()fx 為周期 2?以 （令 ） 2st???02 21 ()1asac e f s dse ? ?? ??? ? ?將 c 代入得 ????? ? ??? x asx saa dssfedssfeec 020 )2(2 )()()1( ? ????? ?? ?? ?? x asx asx sa dssfedssfedssfe 0220 )2( )()()( ?? ?????? ?? x xsaxsaa dssfedssfeey 0 )(20 )(2 )()(11 ?? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 線性非齊次方程初值解公式在理論上的意義 我們可以利用它來研究解得性質(zhì)，對解進行 “ 估值 ” 。y 代入 ( ) ( )y P x y Q x? ?? 得 y39。 若 39。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、 可化為齊次方程的方程 )(111 cybacbyaxfdxdy?????形如 的方程可化為齊次方程 . 其中 111 , cbacba都是常數(shù) . 1. 當 01 ?? cc時 , 此方程就是齊次方程 . 2. 當 0212 ?? cc時 , 并且 (1) 011??? ba ba 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此時二元方程組 ?????????0011 cybxacbyax有惟一解 ., ?? ?? yx引入新變量 ., ???? ???? yx此時 , 方程可化為齊次方程 : ).(11 ??????babafdd??? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 若 011??? ba ba則存在實數(shù) ,?使得 : , 11 bbaa ?? ??或者有 ., 11 bbaa ?? ??不妨是前者 , 則方程可變?yōu)? ).(111 cybxacbyaxfdxdy?????令 ,byaxz ??則 ).(1czczbfadxdybadxdz??????? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 對特殊方程 )( cbyaxfdxdy ???令 ,byaxz ??則 ).( czbfadxdz ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 的通解。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 微分方程課程的一個主要問題是求解， 即把微分方程的解通過初等函數(shù)或它們的積分表達出來，但對一般的微分方程是無法求解的，如對一般的 二元函數(shù) ),( yxf ，我們無法求出一階微分方程 ),( yxfy ?? （ 1） 的解，但是對某些特殊類型的方程，我們可設法轉(zhuǎn)化為已解決的問題 第二章 一階微分方程的初等解法 目錄 上頁 下頁 返回 結束 變量分離方程與變量變換法 線性微分方程與常數(shù)變易法 恰當微分方程與積分因子 一階隱式方程與參數(shù)表示 習題課 本章主要內(nèi)容有一下幾點： 目錄 上頁 下頁 返回 結束 形如 39。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 求下面初始值問題 22( ) ( 1 ) 0y x y d x x d y y? ? ? ?解：方程為一齊次方程，令 y xz?求導后得 21dzxzdx ??分離變量得 211dz dxxz ??事實上 , 令 ,xyz ?則 ., dxdzxzdxdyxzy ???故有 ).( zFdxdzxz ??即 .)( zzFdxdzx ?? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 積分上式得 2l n 1 l n l nz z x C? ? ? ?用 yz x?代入得 21z z Cx? ? ? 221yy Cxxx? ? ?利用初始條件 (1) 0y ? 可定出 1c?代入上式解出 21 ( 1 )2yx??注 :當方程右端是一些線性分式函數(shù)時，可化為 齊次方程。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、 線性齊次方程 ()y P x y? ? （ ） 為一階 線性齊次方程 。 e x p ( ( ) )y c P x d x? ?( ) e xp ( ( ) )y u x P x dx? ?即令 目錄 上頁 下頁 返回 結束 整理得通解為 ： ? ?( ( ) ) ( ) e