【正文】 條件時(shí)穩(wěn)定的格式，因此，對單個(gè)兩層差分其中）是正規(guī)矩陣，即，（）增長矩陣（一滿足：條件，如果下列條件之）穩(wěn)定的充分必要式（）是線性常系數(shù)差分格條件（定理）（）（1))((.3),1,0(,s)(1J0 , 1I,r( w).2)(.1,/,/。階導(dǎo)數(shù)；的對表示矩陣）（這里個(gè)不同的特征值有，對個(gè)不同的特征值；有：下面三種情形之一成立對所有）（當(dāng)雙曲線方程時(shí)）（成對角線形。為與一切對于件為范數(shù)穩(wěn)定的充分必要條按組矩陣。條件，它是差分方程（）稱為）的譜半徑。 設(shè)差分格式為 101nnj j m j j mj N j NA T U B T U?????? （ ） 其中， 為 階方陣， 為 維列向量，且 ,jjAB s s1 ,nnmmUU?12[ , , ]n n n n Tm m m s mU U U U?）穩(wěn)定的充分條件。2 (1 2 )r ?? ?如果 則無條件穩(wěn)定。因此，加權(quán)六點(diǎn)隱式格式的穩(wěn)定性條件為 h? ( , ) 1Gk? ? 如果 則要求 0,? ? 1。 （ 2） GrankNicolson格式 由式（ ）給出的差分格式，相應(yīng)方程（ ）為 0 1 1 01 , , 1 2a b b r b r?? ? ? ? ?2r k h?? 12r ?12r ?1 1 11 1 1 111( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )22n n n n n nm m m m m mr V r V V r V r V V? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?令 ，則 n n i m hmlVe ???1 1 ( 1 ) 1 ( 1 )1( 1 ) [ ]2n i m h n i m h n i m hl l lr e r e e? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?1 ( 1 ) ( 1 )1( 1 ) [ ]2n i m h n i m h n i m hl l lr e r e e? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?消去 ，得 i mhe ?從而 11[ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]22i h i h n i h i h nllr r e e r r e e? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?221 2 sin2( , )1 2 sin2hrGkhr??????則對所有 ，上式絕對值小于 1，故 GrankNicolson格 2, r k h? ?式（ ）無條件穩(wěn)定。 0 , 1 , , 1m M n N? ? ? ?111001( 1 2 )()()n n n nm m m mmnU rU r U rUU m hU nk?????? ? ? ? ????? ??1, ,mM?0 , 1 , ,nN?則相應(yīng)方程（ ）為 1 11( 1 2 )n n n nm m m mV rV r V rV? ??? ? ? ?令 n n i m hmlVe ???則 1 ( 1 ) ( 1 )( 1 2 )n i m h n i m h n i m h n i m hl l l le r e r e r e? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?消去 ，得 i mhe?1 [ ( 1 2 ) ( ) ]n i h i h nllr r e e??????? ? ? ?從而 2( , ) 1 2 ( 1 c o s ) 1 4 si n2hG k r h r ???? ? ? ? ? 也可在式（ ）中令 算出。 實(shí)際計(jì)算中， 非常容易求得，只要把 ()nVx()nVx( , )Gk?n n i m hmlVe ???代入式（ ），消去公共因子，即得式（ ），立刻算得 ，也可按公式（ ）算出 。 上述適用于研究 Cauchy問題常系數(shù)差分格式的穩(wěn)定性，在這 ( , )Gk? k h種情形 定義在整個(gè)實(shí)軸上，但一般說來，不具有周期性。條件（ ）稱為 VonNeumann條件。 ,k?顯然條件（ ）等價(jià)于 00( , ) 1 ( ) , kkG k O k? ????? ??一切 ?（ ） 這樣來。 0 , 1 , , 1m M n N? ? ? ?初始誤差 由此可解得逐個(gè)時(shí)間層結(jié)點(diǎn) 上的值 固定 ，可以用結(jié)點(diǎn)上的值定義一個(gè)在區(qū)間 上的函數(shù) ，如 可定義為階梯函數(shù)，它在 上取值為 ，由邊值條件 ，則我們可以把 周期延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸上，這時(shí)差分方程（ ）寫成 ( , )mn nmV n[0,1] ()nVx ()nVx22mmhhx x x? ? ? ?0nnMVV?nmV()nVx101 ( ) ( )nnj j j jj N j Na T V x b T V x?????? （ ） ()nVx1i ??將 展開成 Fourier級數(shù)，有 2()n n i lxllV x e ????? ? ?? ? （ ） 由 Parseval等式 1 220()nn llV x d x ???? ? ?? ??（ ） 把經(jīng)過延拓后的周期函數(shù) 代入（ ），則 101 2 ( ) 1 2 ( )[ ] [ ]n i l x j h n i l x j hj l j lj N l j N la e b e????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?經(jīng)過整理，則有 102 1 2 2 2[ ] [ ]i l j h n i l x i l j h n i l xj l j ll j N l j Na e e b e e? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?由于 1 22001i x i v xe e d x? ? ? ??? ???v? ?v? ?則可導(dǎo)出 102 1 2[ ] [ ]i l j h n i l j h nj l j lj N j Na e b e??????????0 , 1 , 2 ,l ? ? ?（ ） 令 ，則 2 l???1011[ ] [ ]n i j h i j h nl j j lj N j Na e b e????????? ??（ ） 記 101( , ) [ ] [ ]i j h i j hjjj N j NG k a e b e??? ???? ??（ ） 對于 0 , 1 , 2 ,l ? ? ?則 1 ( , )nnllGk? ? ?? ?（ ） 我們稱 為增長因子。例如，對古典顯式差分格式（ ）， ， ， ，對 GrankNicolson隱式差分格式（ ）， ， ， 為位移算子， 考慮初值問題，假定在初始條件中引進(jìn)誤差 而在邊值及以后的逐層計(jì)算中沒有引進(jìn)其他任何誤差，因此，在結(jié)點(diǎn) 上差分方程的近似解 與其理論解 之差 滿足下面的差分方程 101nnj j m j j mj N j Na T U b T U??????01,NN n ( 1)n? j? ?1 0N ?? ?0 1 , 0 , 1N ?? 0 1 1 01 , , 1 2a b b r b r?? ? ? ? ?? ?01 1 , 0 , 1NN? ? ? 0 1,ar??1 1 0 1 111, 1 ,22a a r b r b b r??? ? ? ? ? ? ?jTnnj m m jT U U ??0mV 1 , , 1 。同時(shí)假定在差分方程求解過程中沒有引入其他任何誤差，來研究隨著時(shí)間 的增長誤差的發(fā)展情況。從理論上，此方法僅僅適用于線性、常系數(shù)差分格式，對線性、變系數(shù)差分格式使用該方法判別穩(wěn)定性的研究最著名的有 LaxNirenberg定理（ 1966）。由圓 [ 1 2 ( 1 ) ] 2z r h r?? ? ? ?則 為了差分格式的穩(wěn)定性，則步長比 必須滿足 ? ?m a x 1 2 ( 2 ) , 1 2z r h r h??? ? ? ?1 2 ( 2 ) 11 2 1rhrh??? ? ???從而得 必須滿足 rr12r h?? ?又由 (1 2 ) 2z r r? ? ?必須 12r?由 [ 1 2 ( 1 ) ] 2z r h r?? ? ? ?必須 12r h?? ?總結(jié)以上所得，為了使格式穩(wěn)定，要求步長比 滿足 r211m in ,22k rh h h?????? ?????? 穩(wěn)定性分析的 Fourier級數(shù)法（ Von Neumann方法） 這個(gè)方法，第二次世界大戰(zhàn)期間由 Von Neumann首先提出，在由 O’Brien, Hyman和 Kaplan1915年發(fā)表的論文中進(jìn)行了詳細(xì)的討論。 這樣的混合初邊值問題，其邊值條件也稱為第三類邊值條件。 例 考慮熱傳導(dǎo)方程初邊值問題 2201021()()()txxuutxuxuuvxuuvx????????? ????????????? ? ???????????0 1 。 對于矩陣 ， ， ，則由 Gerschgorin圓盤定理，有 ? B 2??B 22ssar??11m a x 2ssM Rr? ? ? ?2 2 2rr? ? ? ?由此 即對所有步長比 值， ，說明了 GrankNicolson差分格式的無條件穩(wěn)定性。如前，這時(shí)穩(wěn)定性分析歸結(jié)為計(jì)算矩陣 的特征值，由 111( 2 ) ( 2 )MMC I rT I rT???? ? ?111( 2 ) ( 4 ( 2 ) )MMC I rT I I rT???? ? ? ?111[ 4 ( 2 ) ]4MI r T IBI???? ? ???其中 2222222222rrr r rr r rBr r rrr?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?2222222222rrr r rr r rr r rrr??????? ? ?? ? ???? ? ???????如果 的每一特征值的模不超過 1，則格式將是穩(wěn)定的。