常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法(參考版)
2025-05-19 07:53本頁(yè)面
【正文】 0,20hh ????? ??? h為實(shí)數(shù)時(shí)，當(dāng)。我們稱(chēng) 算法 A 比算法 B 穩(wěn)定 ，就是指 A 的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域比 B 的 大 。 ???????1)0()(30)(yxyxy 精確解 改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式 歐拉顯式 節(jié)點(diǎn) xi xey 30?? ? ? ?101 ??101 ?10?1 ?10?2 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?101 ?101 ?101 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?10?6 ?10?7 定義 若某算法在計(jì)算過(guò)程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都 逐步衰減 ，則稱(chēng)該算法是 絕對(duì)穩(wěn)定的 /*absolutely stable */。 ??????0)0( yyyy ?解： 該問(wèn)題的精確解為 xeyxy ?0)( ?歐拉公式為 iiii yhyhyy )1(1 ?? ????? 0)1( yhy ii ???對(duì)任意固定的 x = xi = i h ，有 ii xhhxi hyhyy ???? ])1[()1( /10/0 ????eh hh ??? ?? /10 )1(lim)(0 ix xyey i ??? ? ? 穩(wěn)定性 /* Stability */ 例： 考察初值問(wèn)題 在區(qū)間 [0, ]上的解。 3 收斂性與穩(wěn)定性 /* Convergency and Stability */ ? 收斂性 /* Convergency */ 定義 若某算法對(duì)于任意固定的 x = xi = x0 + i h， 當(dāng) h?0 ( 同時(shí) i ? ?) 時(shí)有 yi ? y( xi )， 則稱(chēng)該算法是 收斂 的 。對(duì)于光滑性不太好的解，最好采用 低階算法 而將步長(zhǎng) h 取小 。 Butcher 于 1965年給出了計(jì)算量與可達(dá)到的最高精度階數(shù)的關(guān)系： 7 5 3 可達(dá)到的最高精度 6 4 2 每步須算 Ki 的個(gè)數(shù) 2 3 4 5 64 2n?8?n?高于四階時(shí)每步計(jì)算量增加較多，但精度提高不快，因此使用的比較少。 經(jīng)典龍格 庫(kù)塔法公式具有四階精度，因此可取大步長(zhǎng)。其解不唯一。 Q: 為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？ 其中 ?i ( i = 1, …, m )， ?i ( i = 2, …, m ) 和 ?ij ( i = 2, …, m。所有滿(mǎn)足上式的格式統(tǒng)稱(chēng)為 2階龍格 庫(kù)塔格式 。 ? 考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫(xiě)為： ),(),(2121121211hKyhxfKyxfKKKhyyiiiiii??????????????斜率 一定取 K1 K2 的 平均值 嗎？ 步長(zhǎng)一定是一個(gè) h 嗎？ 腳標(biāo)用 i 首先希望能確定系數(shù) ? ? p，使得到的算法格式有 2階精度，即在 的前提假設(shè)下，使得 )(ii xyy ?)()( 311 hOyxyR iii ??? ??Step 1: 將 K2 在 ( xi , yi ) 點(diǎn)作 Taylor 展開(kāi) )(),(),(),(),(2112hOyxfph Kyxph fyxfph KyphxfKiiyiixiiii???????)()()( 2hOxyphxy ii ??????將改進(jìn)歐拉法推廣為： ) , ( ) , ( ] [ 1 2 1 2 2 1 1 1 phK y ph x f K y x f K K K h y y i i i i i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ),(),(),(),(),(),()(yxfyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdxyyxyx???????Step 2: 將 K2 代入 yi+1表達(dá)式，得到 ? ?)()()()()]()()([)(322212211hOxyphxyhyhOxyphxyxyhyyiiiiiiii???????????????????????Step 3: 將 yi+1 與 y( xi+1 ) 在 xi 點(diǎn)的 泰勒 展開(kāi)作比較 )()()()( 322211 hOxyphxyhyy iiii ????????? ???)()(2)()()( 321 hOxyhxyhxyxyiiii ????????要求
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