【正文】 1, , , kt t t ? ,而且它們是線性無關的 .這樣一來 ,特征方程的k 重零根就對應方程 的 k 個線性無關的解 1, 21, , , kt t t ? .如果這個 k 重根 1 0?? ,我們作變量變換 1tx ye?? ,注意到 11( ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( 2 )1 1 1( 1 )() 2!ttm m m m m mmmx y e e y m y y y?? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ?????， 可得 ? ?1 1 11111()nnt t tnnnd y d yL y e b b y e L y ed t d t? ? ?? ??? ? ? ? ? ???, 于是對應方程 化為 ? ? 111 1 0nnnd y d yL y b b yd t d t??? ? ? ? ?, 其中 1 2 3, , , , nb b b b 仍為常數(shù) ,而相應的特征方程為 111( ) 0nn nnG b b b? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?, 直接計算易得 1 1 1 1( ) ( ) ( )11( ) ( )tt t t tF e L e L e e G e? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ??? ? ? ?????, 因此 1( ) ( )FG? ? ??? , 從而 1( ) ( )jjFG? ? ??? ， 1,2, ,jk? , 這樣 ,問 題就化為前面討論過的情形了 . 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法 ,常應用于一階線性微分方程的求解。 對于二階常系數(shù)非線性常微分方程的解法 ,只要先求出其一個特解 ,再運用特征方程法求得方程的通解 . 求常微分方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通 解 . 解 方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?對應齊次方程為 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?, 其特征方程為 02 ??? qp?? . 由于方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通解等于其對應的齊次線性微分方程的通解與其自身的一個特解之和，而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解我們已經(jīng)研究過了 ,所以此處只需求出其一個特解 . 若 ? 為上面方程的實根 ,則 txe?? 是方程 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?的解 .由常數(shù)變易法設 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的一個解為 * ()tx c t e?? ,代入原方程并化簡得 39。有些情形下一個實變量函數(shù)在實數(shù)域中進行一些運算并不容易，但若將實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復數(shù)域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得 實數(shù)域中的相應結果，往往在計算上容易得多。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性、分析控制系統(tǒng)的運動過程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。2 2 , (1 ) (1 ) 0td x d x x e x xd t d t ?? ? ? ? ?. 解 先使 1t??? ，將問題化為 2 ( 1 ) 39。而在對阻尼振動進行研究的過程當中，對運動方程所進行的求解這一問題顯得比較復雜，以下就分別使用特征值法、常數(shù)變異法以及拉普拉斯變換法來求動力學方程?？墒钦怯捎谑艿阶枘嶙饔玫挠绊?，不能夠長久的維持這種自由振動系統(tǒng)的振動，通常都會經(jīng)歷著從振動的逐漸衰減延續(xù)至振動停止，為了保持震蕩持續(xù)不停的狀態(tài)，就必須不斷的從外界當中獲得必要的能量，學術界將這種因為受到外部持續(xù)作用而產(chǎn)生的振動歸納成為強迫振動。從本質(zhì)上來看，這種強迫振動方程屬于二階的非齊次常微分方程，這個方程所得到的一般解也就是這個方程所得到的某一個特解和相對應的齊次方程一般解兩者之和。如果經(jīng)歷一定時間之后，就會消失瞬態(tài)振動，使得整個系統(tǒng)保持著穩(wěn)態(tài)振動的狀態(tài)。 5 5 184( ) s i n 3 0 c o s 3 033ttc t e t e t c? ? ?, 從而得出（ 9）的一個特解為（取 120cc??） * 5 5 51284( ) ( ( s i n 3 0 c o s 3 0 ) )33t t tx t e e t e t d t c?? ? ?? 3 2 4 4s in 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5tt??, 從而可得（ 9）的通解 5 1 5 3 2 4 4( ) s i n 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5ttx t A e B e t t??? ? ? ?. 由之前可知 22d x dxm c kx Fdt dt? ? ?. （ 10） 將數(shù)據(jù)代入公式中可以得到 22 2 0 4 0 0 c o s ( 2 )d x d x xtd t d t? ? ?. （ 11） 按照自己所做的觀察可以發(fā)現(xiàn)，在進行求解的過程當中使用常數(shù)變異法，首要就是必須得出公式（ 11），而在之前的研究當中可 以得到公式（ 11）齊次線性微分方程的特征方程為 2 20 400 0??? ? ?。 4 總結及意義 總而言之， 現(xiàn)在常微分方程在很多 學科 領域內(nèi)有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的 穩(wěn)定性 的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等。應該說， 應用常微分方程 理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理論更加完善。而冪級數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計算量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等。由常數(shù)變易法可設為 * 1 0( ) ( ) si n (1 0 3 )tx t c t e t?? . 與情形 1 中的解法類似，將 *()xt代入（ 12）并化簡得 * 1 0 9 9( ) s i n ( 2 ) c o s ( 2 )3 9 6 0 4 3 9 6 0 4x t t t??. 由于 *x 是特解 ,則積分常量可以都取零。 5( ) 1 0