【正文】 1, , , kt t t ? ,而且它們是線性無關(guān)的 .這樣一來 ,特征方程的k 重零根就對(duì)應(yīng)方程 的 k 個(gè)線性無關(guān)的解 1, 21, , , kt t t ? .如果這個(gè) k 重根 1 0?? ,我們作變量變換 1tx ye?? ,注意到 11( ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( 2 )1 1 1( 1 )() 2!ttm m m m m mmmx y e e y m y y y?? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ?????， 可得 ? ?1 1 11111()nnt t tnnnd y d yL y e b b y e L y ed t d t? ? ?? ??? ? ? ? ? ???, 于是對(duì)應(yīng)方程 化為 ? ? 111 1 0nnnd y d yL y b b yd t d t??? ? ? ? ?, 其中 1 2 3, , , , nb b b b 仍為常數(shù) ,而相應(yīng)的特征方程為 111( ) 0nn nnG b b b? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?, 直接計(jì)算易得 1 1 1 1( ) ( ) ( )11( ) ( )tt t t tF e L e L e e G e? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ??? ? ? ?????, 因此 1( ) ( )FG? ? ??? , 從而 1( ) ( )jjFG? ? ??? ， 1,2, ,jk? , 這樣 ,問 題就化為前面討論過的情形了 . 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法 ,常應(yīng)用于一階線性微分方程的求解。 對(duì)于二階常系數(shù)非線性常微分方程的解法 ,只要先求出其一個(gè)特解 ,再運(yùn)用特征方程法求得方程的通解 . 求常微分方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通 解 . 解 方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?對(duì)應(yīng)齊次方程為 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?, 其特征方程為 02 ??? qp?? . 由于方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和，而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解我們已經(jīng)研究過了 ,所以此處只需求出其一個(gè)特解 . 若 ? 為上面方程的實(shí)根 ,則 txe?? 是方程 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?的解 .由常數(shù)變易法設(shè) 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的一個(gè)解為 * ()tx c t e?? ,代入原方程并化簡得 39。有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得 實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往在計(jì)算上容易得多。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。2 2 , (1 ) (1 ) 0td x d x x e x xd t d t ?? ? ? ? ?. 解 先使 1t??? ，將問題化為 2 ( 1 ) 39。而在對(duì)阻尼振動(dòng)進(jìn)行研究的過程當(dāng)中，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程所進(jìn)行的求解這一問題顯得比較復(fù)雜，以下就分別使用特征值法、常數(shù)變異法以及拉普拉斯變換法來求動(dòng)力學(xué)方程?？墒钦怯捎谑艿阶枘嶙饔玫挠绊?，不能夠長久的維持這種自由振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，通常都會(huì)經(jīng)歷著從振動(dòng)的逐漸衰減延續(xù)至振動(dòng)停止，為了保持震蕩持續(xù)不停的狀態(tài)，就必須不斷的從外界當(dāng)中獲得必要的能量，學(xué)術(shù)界將這種因?yàn)槭艿酵獠砍掷m(xù)作用而產(chǎn)生的振動(dòng)歸納成為強(qiáng)迫振動(dòng)。從本質(zhì)上來看，這種強(qiáng)迫振動(dòng)方程屬于二階的非齊次常微分方程，這個(gè)方程所得到的一般解也就是這個(gè)方程所得到的某一個(gè)特解和相對(duì)應(yīng)的齊次方程一般解兩者之和。如果經(jīng)歷一定時(shí)間之后，就會(huì)消失瞬態(tài)振動(dòng)，使得整個(gè)系統(tǒng)保持著穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的狀態(tài)。 5 5 184( ) s i n 3 0 c o s 3 033ttc t e t e t c? ? ?, 從而得出（ 9）的一個(gè)特解為（取 120cc??） * 5 5 51284( ) ( ( s i n 3 0 c o s 3 0 ) )33t t tx t e e t e t d t c?? ? ?? 3 2 4 4s in 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5tt??, 從而可得（ 9）的通解 5 1 5 3 2 4 4( ) s i n 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5ttx t A e B e t t??? ? ? ?. 由之前可知 22d x dxm c kx Fdt dt? ? ?. （ 10） 將數(shù)據(jù)代入公式中可以得到 22 2 0 4 0 0 c o s ( 2 )d x d x xtd t d t? ? ?. （ 11） 按照自己所做的觀察可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行求解的過程當(dāng)中使用常數(shù)變異法，首要就是必須得出公式（ 11），而在之前的研究當(dāng)中可 以得到公式（ 11）齊次線性微分方程的特征方程為 2 20 400 0??? ? ?。 4 總結(jié)及意義 總而言之， 現(xiàn)在常微分方程在很多 學(xué)科 領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的 穩(wěn)定性 的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。應(yīng)該說， 應(yīng)用常微分方程 理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。而冪級(jí)數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計(jì)算量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否收斂等。由常數(shù)變易法可設(shè)為 * 1 0( ) ( ) si n (1 0 3 )tx t c t e t?? . 與情形 1 中的解法類似，將 *()xt代入（ 12）并化簡得 * 1 0 9 9( ) s i n ( 2 ) c o s ( 2 )3 9 6 0 4 3 9 6 0 4x t t t??. 由于 *x 是特解 ,則積分常量可以都取零。 5( ) 1 0