第二章一階微分方程的初等解法(文件)
【正文】 次方程 , 代入得令 xyu ?uu ?? 2 即 udxdux 2?將變量分離后得 xdxudu ?2udxdux ?兩邊積分得 : cxu ??? )ln (即 為任意常數(shù)ccxcxu ,0)l n (,))( l n ( 2 ??????代入原來(lái)變量 ,得原方程的通解為 ,0)l n (,00)l n (,])[ l n ( 2????????????cxcxcxxyxdxudu ?2例 6 求下面初值問(wèn)題的解 0)1(,)( 22 ???? yx d ydxyxy解 : 方程變形為 2)(1xyxydxdy ???這是齊次方程 , 代入方程得令 xyu ?21 udxdux ??將變量分離后得 xdxudu ?? 21兩邊積分得 : cxuu lnln1ln 2 ????整理后得 cxuu ??? 21變量還原得 cxxyxy ??? 2)(1.1,0)1( ?? cy 可定出最后由初始條件故初值問(wèn)題的解為 )1(21 2 ?? xyxdxudu ?? 21(II) 形如 ,222111cybxacybxadxdy????? ., 222111 為常數(shù)這里 cbacba的方程可經(jīng)過(guò)變量變換化為變量分離方程 . 分三種情況討論 的情形01 21 ?? cc)(2211xygxybaxyba????ybxaybxadxdy2211???為齊次方程 ,由 (I)可化為變量分離方程 . 的情形022121 ?bbaa則方程可改寫成設(shè) ,2121 kbbaa ??222111cybxacybxadxdy?????則方程化為令 ,22 ybxau ???dxdu)( 22 ybxaf ??222122 )(cybxacybxak?????)(22 ufba ??dxdyba2
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