常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用(文件)
【正文】 考慮商品價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程,那么商品的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)能保證市場(chǎng)的供需平衡,但是,實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格不會(huì)恰好等于均衡價(jià)格,而且價(jià)格也不會(huì)是靜態(tài)的,應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程.例3 試建立描述市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型.解 假設(shè)在某一時(shí)刻,商品的價(jià)格為,它與該商品的均衡價(jià)格間有差別,此時(shí),存在供需差,又有新的供需差,如此不斷調(diào)節(jié),就構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程,假設(shè)價(jià)格的變化率與需求和供給之差成正比,并記為需求函數(shù),為供給函數(shù)（為參數(shù)）,于是其中為商品在時(shí)刻的價(jià)格,為正常數(shù).若設(shè),則上式變?yōu)? ①其中均為正常數(shù),其解為 .下面對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行討論:（1）設(shè)為靜態(tài)均衡價(jià)格 ,則其應(yīng)滿足 ,即 ,于是得,從而價(jià)格函數(shù)可寫為 ,令,取極限得 這說(shuō)明,則動(dòng)態(tài)價(jià)格就維持在均衡價(jià)格上,整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程就化為靜態(tài)過(guò)程；（2）由于 ,所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)下降向靠攏；當(dāng)時(shí), ,：初始價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí),動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步降低,且逐步靠近均衡價(jià)格。否則,式①在一定程度上反映了價(jià)格影響需求與供給,而需求與供給反過(guò)來(lái)又影響價(jià)格的動(dòng)態(tài)過(guò)程,并指出了動(dòng)態(tài)價(jià)格逐步向均衡價(jià)格靠攏的變化趨勢(shì).三、混合溶液的數(shù)學(xué)模型 例4 設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/,同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為kg,考慮到時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況,在時(shí)間內(nèi) 容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量－抽出的鹽水中所含鹽量 容器內(nèi)鹽的改變量為,注入的鹽水中所含鹽量為,時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,假設(shè)到時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變（事實(shí)上,容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變,由于時(shí)間很短,可以這樣看）.于是抽出的鹽水中所含鹽量為,這樣即可列出方程,即.又因?yàn)闀r(shí),容器內(nèi)有鹽
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