【正文】 的性質(zhì)進(jìn)行討論或者求出方程以便滿足初始條件的特解；第三步是定性分析對(duì)解，對(duì)原來問題反著進(jìn)行解釋，其中最為關(guān)鍵的因素就是要將方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬時(shí)變化法。 特征方程法 例如在彈簧振子系統(tǒng)當(dāng)中，測試出物體的阻尼系數(shù) ? ?? ，物體質(zhì)量 kg? ,該彈簧所具備的勁度系數(shù) 175k N m??? ,在此背景下，假設(shè)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)從靜止?fàn)顟B(tài)開始逐步運(yùn)動(dòng)，求解彈簧振子 的位移方程。而我們的關(guān)注點(diǎn)是在基于 0??? 此種情況下 ,質(zhì)點(diǎn)呈現(xiàn)出逐漸衰減的振動(dòng)。 又例如案例：假如在以上的振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)中受到某個(gè)外力 100 cos(30 )F t N? 的作用，在公式當(dāng)中 100AF ? 表示為驅(qū)動(dòng)力所具備的幅度值， 30?? 則表示為驅(qū)動(dòng)力所擁有的圓頻率， f 也就是驅(qū)動(dòng)力所保持的頻率。（ 7）與（ 8）這兩個(gè)方程式都屬于質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫 振動(dòng)方程。由于在之前的篇幅當(dāng)中已經(jīng)得到相對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)方程的一般解，這就導(dǎo)致其在的關(guān)鍵問題就是對(duì)于（ 8）當(dāng)中的一個(gè)特解進(jìn)行尋找，把所得到的數(shù)據(jù)代入到（ 8）當(dāng)中就可以得到： 22 2 0 7 5 1 0 0 c o s ( 3 0 )d x d x xtd t d t? ? ?, （ 9） 在這里可以通過假設(shè)（ 9）有著 1 sin 3 0 c o s 3 0x A t B t??這樣的特解，將這個(gè)特別往（ 9）當(dāng)中進(jìn)行替代并且將其進(jìn)行簡化之后得到 ( 3 3 2 4 ) s i n 3 0 ( 2 4 3 3 ) c o s 3 0 4 c o s 3 0A B t A B t t? ? ? ? ?, 按照比較同類項(xiàng)系 數(shù)可以得到 32 44,555 555AB? ? ?,這樣就可以進(jìn)一步得到1 3 2 4 4s i n 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5x t t??,根據(jù)以上所得到的結(jié)果沒那么原方程所存的通解就可以表述為 5 1 5 3 2 4 4( ) s i n 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5ttx t A e B e t t??? ? ? ?. 在以上的公式當(dāng)中，初始條件決定 ,AB的數(shù)值，而其中的瞬態(tài)解是之前的兩項(xiàng)，瞬態(tài)項(xiàng)能夠?qū)τ谡麄€(gè)系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)進(jìn)行有效描述，而所能夠起作用的只是在震動(dòng)的開始階段，而當(dāng)經(jīng)歷比較長的時(shí)間之后，瞬態(tài)解所起到的影響則會(huì)逐漸的減弱并且在最后階段消失。從以上的 公式可以得到，如果質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)受到外力作用之后，整個(gè)系統(tǒng)有著比較復(fù)雜的振動(dòng)狀態(tài)，這屬于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)和自由衰減振動(dòng)兩者的有機(jī)合成體，在這樣的振動(dòng)狀態(tài)之下對(duì)于強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)中逐步建立穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的過程進(jìn)行有效描述。 常數(shù)變易法 從之前的分析當(dāng)中可以了解到 5txe?? 這屬于特征方程 2 20 75 0??? ? ?的實(shí)根，那么就可以得到 5txe?? 這個(gè)屬于方程（ 9）當(dāng)中的一個(gè)根，然后通過常數(shù)變異法設(shè)置 *5() tx c t e?? ，那么在這一過程當(dāng)中也可以得到方程的一個(gè)解為 *x ，把數(shù)值代入到（ 9）當(dāng)中并且進(jìn)行簡化之后 可以得到 39。()ct的一階線性微分方程 ,并且在方程當(dāng)中一個(gè)特解為 39。這樣就可以進(jìn)一步的假設(shè)特征方程的根為10 10 3i? ? ? ? ，那么 10( ) si n( 10 3 )tx t e t?? 這就是公式（ 11）的一個(gè)解。 拉普拉斯變換法 依然使用之前的例子，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可以得到以下的公式 22d x dxm c kx Fdt dt? ? ?, 將這一公式代入數(shù)據(jù)之后可以得到 22 2 0 4 0 0 c o s ( 2 )d x d x xtd t d t? ? ?, (12) 由于質(zhì)點(diǎn)通過開設(shè)的靜止?fàn)顟B(tài)逐步運(yùn)動(dòng)，那么就可以得到以下的公式 0 0, 0t dxx dt? ??, 對(duì)方程 (12)進(jìn)行拉普拉斯變換 ,得到 2 2( ) 2 0 ( ) 4 0 0 ( ) 4ss X s s X s X s s? ? ? ?, 即 22 1() 4 2 0 4 0 0sXs s s s? ? ? ?, 把上式右端分解為部分分式 221 0 2 9 9() 3 9 6 0 4 4 3 9 6 0 4 4sXs ss???? 2 2 2 21 0 1 3 1 0 3 9 9 1 01 1 8 8 1 2 3 9 6 0 4( 1 0 ) ( 1 0 3 ) ( 1 0 ) ( 1 0 3 )sss ???? ? ? ?, 由拉普拉斯變換表可得 1 0 9 9( ) s i n ( 2 ) c o s ( 2 )3 9 6 0 4 3 9 6 0 4x t t t?? 10 1010 1 3 99sin( 10 3 ) c os( 10 3 )11 88 12 39 60 4tte t e t????。 現(xiàn)今對(duì)于二階常微分方程解法的研究已經(jīng)取得了不少成就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問題方面卓有成效。另外，對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的。 參考文獻(xiàn) [1] (瑞典 ) ()著 ,胡作玄譯 .數(shù)學(xué)概觀 [M].科學(xué)出版社 ,2020： 121147 [2] 趙慈庚 , 朱 鼎勛 主 編 . 大學(xué) 數(shù) 學(xué) 自學(xué) 指 南 [M]. 中國 青 年 出 版社 ,1984:7491 [3] 王高雄等編 .常微分方程 [M].高等教育出版社 ,1978:3953 [4] 李瑞遐 ,何 志慶編著 .微分方程數(shù)值方法 [M].華東理工大學(xué)出版社 ,2020：4158 [5] 余德浩 ,湯華中編著 .微分方程數(shù)值解法 [M].科學(xué)出版社 ,2020： 1421 [6] 胡燧林 .一階方程初值問題解的存在與唯一性定理的幾點(diǎn)注記 [J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào) .1988(02)： 3847 [7] 弭魯芳 ,紀(jì) 在秀 .論一類常微分方程解的最大存在區(qū)間 [J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版 ).2020(04):2426+28 [8] 趙慧娟 ,陳偉麗 ,趙晨霞 ,袁書娟 .關(guān)于常微分方程初值問題數(shù)值解法的分析 [J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊 .2020(08):83 [9] 李孝誠 ,劉兆麗 .常微分方程解題模式的構(gòu)建 [J].高等數(shù)學(xué)研究 .2020(04)： 9699 [10] 韋程?hào)| ,高揚(yáng) ,陳志強(qiáng) .在常微分方程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實(shí)踐 [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) 2020(20)： 228233 [11] 舒小保 .一類二階常微分方程邊值問題的無窮多個(gè)解 [J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué) .2020(01)： 9198