【文章內(nèi)容簡介】 an ??? xyy 的通解； 將 0tan ??? xyy 變形為 ,tan xdxydy ??兩端積分得 1coslnln Cxy ?? 即齊次方程的通解為 11 (cos CxCy ? 為任意常數(shù)） 設(shè) ,cos)( xxCy ? 將其代入非齊次方程，得 xxCxxxC 2s e c)(,s e cc o s)( ???? 積分求得 ? ??? Cxxd xxC ta ns e c)( 2 故所求方程的通解為 xCxxCxy c o ss i nc o s)( t a n ???? （ C 為任意常數(shù)） （ 2）方程變形為 2112 xxyxdxdy ??? 此為一階線性非齊次方程 用公式求解：這里211)(,2)( xxxqxxp ???，于是方程的通解為 ])11([ 222 ? ????? ? Cdxexxey dxxdxx ])11([ ln22ln2 ? ??? ? Cdxexxe xx ])11([1 222 Cdxxxxx ??? ? ])21[(1 22 Cxxx ??? 2121 xCx???（其中 C 為任意常數(shù)） 將初始條件 0)1( ?y 代入，得 21?C ，因此方程滿足初始條件的特解為 12 221121 xxy ??? （ 3）方程變形為 032 3 2 ???? yx xy 這是一階線性齊次方程，用公式求通解為 223 2 13ln3132 xxxdxx x eCxCeCey ???? ??? 將初始條件 1)1( ?y 代入，得 eC 1? ，因此方程滿足初始條件的特解為 113 2?? xexy *（ 4）將 y 看作自變量， x 看作未知函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù) )(yx ?? 的一階線性非齊次方程。 )1(,1ln1 ??? yyxyydydx 這里 ,1)(,ln1)( yyqyyyp ??于是通解為 ]1[ ln1ln1 ? ???? ? Cdyeyex dyyydyyy ]1[ lnlnlnln ? ?? ? Cdyeye yy ]ln[ln1 Cdyyyy ?? ? )ln21(ln1 2 Cyy ?? yCy lnln21 ??（ C 為任意常數(shù)） （ 5）該方程是一階非線性方程，是可分離變量 型 方程，原方程變形為 0)1( ???? ? yx eey ,1 dxee dy xy ??? dxeedye xyy ??1 積分得 Cee xy ???? )1ln ( ， xey Cee ???1 13 故通解為 )1ln( xeCey ??? （ C 為任意常數(shù)） 小結(jié) （ 1）從上面的例子看出，判斷方程的類型是最基本的，分清類型才能確定求解的辦法，這不僅是對一階微分方程而言的，對其它的微 分方程也是如此。 （ 2）對一階微分方程來說，如果它是形如 )()( ygxfy ?? 的方程，則屬于變量可分離方程；如果方程形如 )(xyfy ?? ，則屬于齊次方程。有些方程則需作適當(dāng)代換，化成上述兩種類型。如 )( cbyaxfy ???? ，令 cbyaxu ??? ，則可化成變量可分離的形式。 （ 3）一階線性微分方程是一階微分方程中比較基本而又重要的類型之一， 它可 以用公式 ])([ )()( ? ???? ? Cdxexqey dxxpdxxp ① 求通解，也可以用常數(shù)變易法求通解，用公式法求通解時，要注意先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式 )()( xqyxpy ??? ② 這親才能準(zhǔn)確地確定出 )()( xqxp 、 。用公式法求通解時， 要先求出齊次方程的通解?? ? dxxpCey )( ，然后將常數(shù) C 變成待定函數(shù) )(xC ，即 令 ?? ? dxxpexCy )()( ③ 為非齊次方程的通解，代入原方程求出 )(xC ，將 )(xC 代回③，這樣便得到方程②的通解。 （ 4）一階線性非齊次方程的通解式①可寫成下面兩項(xiàng)之和 dxexqeCey dxxpdxxpdxxp ? ????? ?? )()()( )( 上式右端第一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次線性方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次方程的一個特解（在通解式①中取 0?C 便得到這個特解）。由此可知，一階線性非齊次方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之 和 。 例 5 求下列微分方程的通解。 （ 1） xxey ?? （ 2） 0)( 2 ????? yyy （ 3） 3)0(,0)0(,2)1( 2 ???????? yyyxyx （ 4） yyy ?????? 3)( 分析 這些都是可降價的二階微分方程式，可用變量代換的方法將它們化為一 階微分方程來求解。 解 （ 1）方程右端不顯含 yy?, ，只把 y? 作為新未知函數(shù)，則方程就是關(guān)于 y? 的一階微分方程，兩邊積分，得 14 ? ????? 1Cexedxxey xxx 再積分即得通解 ? ??? dxCexey xx )(1 212 CxCexe xx ???? （ 2）方程不顯含 x ，作代換 yp ?? ，于是 dydppdxdydydpdxdpy ?????? 代入原方程，得 02 ?? pdydpyp 如果 0?p ，那么約去 p 并分離變量，得 ydypdp? 兩端積分并化簡，得 yCp 1? ，即 ??y yC1 分離變量并積分，得 21 lnln CxCy ?? 于是有 xCeCy 12? 如果 0?p ，那么從 py?? 中可得 Cy? ，顯然它也是原方程的解，但 Cy? 已被包含 在解 xceCy 12? 中了（僅 01?C ，就得到它），所以原方程通解為 xCeCy 12? （ 3）方程不顯得 ,y 設(shè) py?? ，則 py ??? 代入方程并分離變量后，有 dxxxpdp 21 2?? 兩端積分，得 12 ln)1ln (ln Cxp ??? ，即 )1( 21 xCyp ???? 由條件 3)0( ??y ，得 31?C ，所以 15 )1(3 2xy ??? 再積分，得 23 3 Cxxy ??? 由條件 11)0( 1 ?? C，y 得 于是所求的特解為 133 ??? xxy （ 4）方程僅含 y? ，不顯含 y 與 x ，設(shè) yp ?? ，則dydppy ???，代入原方程，得 ppdydpp ?? 3 當(dāng) 0?p 時，約去 p 并分離變量，得 dypdp ??12 積分得 )t a n (,a r c t a n CyPCyP ???? 將 yp ?? 代入并分 離 變量得 dxCydy )tan( ? 積分得 2ln)s in (ln CxCy ??? 即 xeCCy 2)sin( ?? 于是原方程的通解為 )()a r c s in ( 112 CCCeCy x ???? 此題是中，若 y? 表示為 p? ，即 py ??? ，那么代入原 方程后也得到一個可分離變量方程。 ppp ??? 3 分離變量并積分得 dxpp dp ?? )1( 2 Cxp ???? )11ln(21 2 16 即 1122 ?? ? xCep 故 ? ????? ? xxx eCdxedxCey22 11 21 )arcsin( CeC x ?? （其中CC 11? 兩個計(jì)算結(jié)果是一致的。 小結(jié) 從上面例子看出，方程（ 1） )(xfy ??? 直接積分兩次就可得到通解，而方程（ 2）和（ 3）則必須作代換后通過降價才能求通解，值得注意的是，對方程（ 2）和（ 3）所作的代換是相同的，即均為 py?? ，但 y? 的表達(dá)式卻是不同的，要根據(jù)方程中是含有 x 還是含有 y 而將y? 分別表示成 py ??? （ 方程（ 3）情形，含 x 不含 y ）或 dydppy ??? （方程（ 2）情形，含y 不含 x ）。 例 6 求下列微分方程的通解： （ 1） 0134 ?????? yyy （ 2） 065 ?????? yyy 分析 這兩個是二階常系數(shù)線性齊次方程，寫出 特征方程，求出特征根，根據(jù)特征根的不同情況，定出它們的通解。 解 （ 1） 所給微分方程的特征方程是 01342 ??? ?? 特征 根 i32???? ，為一對共軛復(fù)根，因此所求通解為 )3s in3c o s( 212 xCxCey x ?? ? （ 2）所給方程的特征方程是 0652 ??? ?? 特征 根 61 ??? ， 11?? 是兩個不相等的實(shí)根，因此所求通解為 xx eCeCy 261 ?? 例