【正文】 1?????? ③ 的特解 ?1y 和 ?2y 的和，即 ?? ??? 21 yyyy 特征方程為 012 ????? ，特征根為 i2321 ???? ，故方程①的通解為 )23s i n23c os( 2121 xCxCey x ?? ? 對方程②來講，由于 0 不是特征根，故特解設為 Ay ??1 23 代入方程②，解出 21?A ，故 211 ??y 對方程③來講，由于 ?? iaa ??? ,2,0 不是特征根，故特 解設為 xBxBy 2s in2c o s 212 ??? 計算 ??2y 、 ??2y 并代入方程，整理得 xxBBxBB 2c os212s i n)23(2c os)23( 1221 ?????? 比較兩端同類項系數(shù)得 ???????????02321231221BBBB 解出 ,131,26321 ??? BB故 xxy 2s in1312c os2632 ???? 所以原方程的通解為 ?? ??? 21 yyyy xxxCxCe x 2s i n1312c os26321)2 3s i n2 3c os( 212 ????? ? 求一階或二階微分方程 通解常用的方法還有數(shù)值解法（如龍格一庫塔法）、冪級數(shù)解法等，這些例 子教 材中已講得較詳細了，在此不贅述了，下面 看 一下關(guān)于微分方程 的 應用問題舉例。 例 12 求一 曲線， 使 由其任一點的切線、二坐標軸和過切點平行于縱軸的直線所圍成的梯形面積等于常數(shù)值 23a 解 ① 列方程 設 ),( yxp 是所求曲線 )(xfy? 上的任一點，則過該點的切線方程為 )( xXyyY ???? 或 yxXyY ???? )( 其中 ),( YX 是切線上任意一點的坐標。 于是由該切線、二坐標軸及直線 xX? 所圍成的梯形面積為 2020 21])(21[])([ xyyxyXxXydXyxXyS xx ??????????? ? 由已知條件 23aS? 得 24 22 321 ayxxy ???? 即 2262 xaxyy ???? （ *） ②解方程 這是一個線性非 齊次方程，其對應的齊次方程的通解為 2ln22 CxCeCey xx ???? ? 用常數(shù)變易法求非齊次方程（ *）的通解，設通解為 2)( xxCy? 代入 方程（ *），整理后得 42222 6)(,6)( xaxCxaxxC ?????? 積分 ， 得 ? ???? CxadxxaxC3242 26)( 從而得到 232 )2( xCxay ?? 即所求曲線方程為 )2( 22 xaCxy ?? 求解 微分方程的應用問題時，首先要列出方程，然后再求解。一般說來，列方程有有下述兩種方法： （ 1）根據(jù)有關(guān)科學知識，分析所研究的變量應遵循的規(guī)律，找出各變量之間的等量關(guān)系，列出微分方程； （ 2）微元法：這種方法的基本思想是，把所研究的整體理加以“細分”，取微元，分析變量在微元內(nèi)的變化情況，找出等量關(guān)系，再列出方程，具體做法是：將自變量 x 的取值區(qū)間細分，從中任取一小段 dx ,在微小區(qū)間 ],[ dxxx ? 上，示知 函數(shù)看作是均勻不變的，于是可用微分 dy 近似代替函數(shù) y 的改變量，在后根據(jù)物理定律列出方程。 例 13 潛水 艇下降過程中受到重力 mg 與阻力 dtdxk? 的作用，于是運動方程為 即 22dt xdmdtdxkmg ?? mgdtdxkdtmdm ??22 ① 25 這 是 二階線性非齊次方程，特征方程為 02 ?? ?? km 特征根為 ,0 mk??? ?? 故對應的齊次方程的通解為 tmkeCCx ??? 21 ② 由非齊次項 ,)( mgxf ? 0 是特征根，故方 程①的特建設為 Atx ?? 代入 方程①得 kmgAmgkA ?? , ，從而特解為 tkmgx ?? ③ 由 ②、③知方程①的通解為 tkmgeCCtx tmk ??? ?21)( ④ 依題意 ， 0?t 時， 0)0(,0)0( ??? xx ，代入④中有 0)0( 21 ??? CCx 0)()0( 02 ???? ?? ttmk kmgeCmkx 解出 22122 ,2 k gmCk gmC ??? 于是得到潛水艇下降的深度 x 與時間 t 的關(guān)系是 )1()( 22 tek gmtkmgtx mk???? 三、自我檢測題 （一）填空題 xy?? 的通解為 。 2．方程 02 ??? yy 的通解為 。 3．方程 xxeyyy ?????? 32 的特解應設為 ??y 。 4．求方程 232 )1( yy ?????? 的通解時，設變量代換 yp ?? ，則原方程化為一階微分工 26 程 。 5．微分方程 02 ?????? yyy 的通解為 。 （二）單項選擇題 1．微分方程 0))(,( 24 ???? yyyxF 的通解中含有（ ）個獨立任意常數(shù)。 A． 1； B． 2； C． 4； D． 5 2．微分方程 0)( ???? xQyyx 的通解為（ ） A． ? ?? CdxxxQx2 )( B． ? ?? ? ))(( CdxxxQe x ； C． ? ?CdxxxQex )( D． ? ?CdxxxQx2 )( 02 ?????? yyy 的通解為（ ） A． xx eCeCy 221 ??? ； B． 221 xx eCeCy ?? ? ； C． 221 xx eCeCy ??? ； D. xx eCeCy 221 ?? ? 4．微分方程 0)1(2 ??? dyxdxy 是（ ）微分方程。 A．一階線性齊次； B．一階線性非齊次； C．可分離變量 ； D．二階線性齊次； 5．下列方程中，可用代換 ypyP ?????? , 降為關(guān)于 p 的一階微分方程的是（ ）。 A． 0)( 222 ???? xyxdx yd B． 0222 ???? yyydx yd C． 02222 ???? xyyxdx yd D． 022 ??? xdxdyydx yd （三）計算題 1．求下列微分方程的通解或特解； （ 1） 1,01 02 ???? ?xydyxxydx （ 2） 0)( 22 ??? xydydxyx （ 3） yxyy sec2??? （ 4） )lnln1( xyxyy ???? 2．求下列方程的通解或特解 （ 1） 1)(,s in ???? ?yx xxyy （ 2） 1???? yxy 3．設方程 )(102 xfyyy ?????? 中 )(xf 分別為以下各函數(shù)， 問特解如何去設？ （ 1） xxexf ?)( （ 2） xexf x 3sin)( ? 27 （ 3） xxexf x 3cos)( ? 4．求下列方程的通解 （ 1） xxeyyy ??????? 23 （ 2） xyyy c o s596 ?????? （ 3） xyyy 2sin?????? 5．一曲線上各點的法線都通過點 ),( ba ，求此曲線的 方程。 自我檢查題答案或提示 （一） 1．21361 CxCxy ??? 2． xCey 2?? 3． xeBAxxy )( ??? 4． 232 )1( pdxdp ??? 5． xx xeCeCCy 321 ??? （二） 1． B； 2． A； 3． B； 4． C； 5． A； （三） 1．（ 1） 121 ?? ?xey （ 2） )ln(2 22 Cxxy ?? （ 3） Cyyyx ??? c o ss in2 （ 4） cxxey? 2．（ 1） x xy cos1??? ? （ 2） xCeyx ??? 2 3.（ 1） xeBAxy )( ??? （ 2） )3s in3c o s( xBxAxey x ??? （ 3） ]3s i n)(3c o s)[( xDCxxBAxxey x ????? 4．（ 1） xxx exxeCeCy ??? ???? ）2221 21( （ 2） xxxeCeCy xx s i n103c os523231 ???? ?? （ 3）提示： 2 2cos1sin 2 xx ?? ； 212c os2632s i n131)2 3s i n2 3c os( 212 ????? ? xxxCxCeyx 5. Cbyax ???? 22 )()(