【正文】 ? ? ? ?22 4 ( ) 4 ( )A x B i A x B i i A x B x?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 得 7 6 2 2 4,2 8 9 1 4iiAB i????? 故復(fù)方程有特解 4 1 7 6 2* ( )1 7 2 8 9 ixiiy x e??? ? ? 4 1 7 6 2( ) ( c o s si n )1 7 2 8 9iix x i x??? ? ? ? 故復(fù)方程特解的實(shí)部 1 7 6 4 2c o s c o s s in s in1 7 2 8 9 1 7 2 8 9x x x x x x? ? ? ?為原方程的一個(gè)特解， 故原方程的通解為 412 1 7 6 4 2c o s c o s s in s in1 7 2 8 9 1 7 2 8 9xy C C e x x x x x x?? ? ? ? ? ? （ 4） xyy 2sin???? ； 解：原方程即為 11co s 222y y x?? ? ? ? 特征方程為 2 10r ?? ，特征根為 121, 1rr? ?? ， 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 12xxy C e C e??? 顯然 12yy???? 有特解1 12y ?? 對(duì) 1 cos 22y y x?? ? ? ? 構(gòu)造復(fù)方程 214 2 ixy y e?? ?? ? ? 設(shè)復(fù)方程有特解 22 ixy ae? ，代入復(fù)方程有 ? ? ? ? 2 14 0 2 1 2a i a i a?? ???? ? ? ? ? ??? 得 110a? ，即復(fù)方程有特解 22 1 1 1c o s 2 si n 21 0 1 0 1 0ixy e x i x? ? ? 故 1 cos 22y y x?? ? ? ? 有特解2 1 cos 210yx? ??， 所以原方程有特 解 11cos 210 2yx? ?? 故原方程有通解12 11c o s 21 0 2xxy C e C e x?? ? ? ? （ 5） )4(2 ?????????? xexyyy . 解：特征方程為 3220r r r? ? ? ， 特征根為 1 2 30, 2, 1r r r? ? ? ? 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 21 2 3xxy c c e c e ?? ? ? 對(duì) ? ?21xy y y x e??? ?? ?? ? ? ， 1?? 是 ??1 特征方程的單根，可設(shè) ??1 有特解 1 ()xy x Ax B e?? 解得1 14()69xy x x e?? 對(duì) ? ?2 4 2y y y x??? ?? ?? ? ? ， 0?? 是 ??2 特征方程的單根，可設(shè) ??2 有特解 2 ()y x Cx D?? 解得 2 ( 1)y x x? ? ? 故 14( ) ( 1 )69 xy x x e x x? ? ? ? ? ?是原方程的一個(gè)特解 故原方程通解為 21 2 3 14( ) ( 1 )69x x xy C C e c e x x e x x?? ? ? ? ? ? ? ? 2．求下列微分方程的特解 （ 1） 2( 0 )y ,6)0( ,523 ????????? yyyy ； 255235232525*21。0)2)(1(023:221221221212??????????????????????xxxxxxeeyccececyAAyececyrrrrrr特解代初始條件解出通解代入方程確定設(shè)齊次的通解特征方程解 （ 2） 1)(y ,1)( ,02s in ???????? ??yxyy 解法一：原方程即為 sin 2y y x?? ? ? ? 特征方程為 2 10r ?? ，特征根為 12,r i r i? ?? ， 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 12c os si ny C x C x?? 構(gòu)造復(fù)方程 24 ixy y e?? ?? ?? 復(fù)方程中 2i?? 不是特征方程的根，故可設(shè)復(fù)方程有特解 * ixy Ae? 代入復(fù)方程得 ? ? ? ? 22 2 0 2 1 1A i A i A?? ???? ? ? ? ? ? ??? 得 13A? 故復(fù)方程有特解 21 1 1* c o s 2 s in 23 3 3ixy e x i x? ? ? 故復(fù)方程特解的虛部 1sin23 x 為原方程的一個(gè)特解， 故原方程的通解為12 1c o s si n si n 23y C x C x x? ? ? 由 ( ) 1, y ( ) 1y ?????得特解 11c o s si n si n 233y x x x? ? ? ? 2． 設(shè)連續(xù)函數(shù) )(xf 滿足 ? ??? xx dttfxtexf 0 )()( )( 求 )(xf . 解 :由題意有 ()(0 ) 1 , (0 ) 1xf e f xff??? ??? ???? 特征方程為 2 10r ?? ，特征根為 12,r i r i? ?? 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 12c os si ny C x C x?? 1?? 不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解 ? ? xf x Ae? ? 解得 ? ? 12 xf x e? ? 故原方程的通解為 ? ?12 1c o s s in 2 xf x C x C x e? ? ? 由 (0) 1 , (0) 1ff???得本題解為 ? ? 1 1 1c o s s in2 2 2 xf x x x e? ? ? （注 0( ) ( ) ( )xxf x e t x f t d t? ? ? ?? 0 0( ) ( ) ( )xxxf x e tf t d t x f t d t? ? ? ??? 0 0( ) ( ) ( )xxxf x e tf t d t x f t d t? ? ? ??? 0( ) ( ) ( ) ( )xxf x e x f x f t d t x f x? ? ? ? ? ?? 0( ) ( ) ( ) ( )xxf x e x f x f t d t x f x? ? ? ? ? ?? 0( ) (xxf x e f t d t? ? ? ?? ? ?() xf x e f x?? ?? m 的質(zhì) 點(diǎn)由靜止開始沉入水中，下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比（比例系數(shù)為 k ），求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律 . 解：取坐標(biāo)系如圖： 設(shè) t 時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)離水平面為 )(tx ，其加速度為22dtxd，所受的力為 dtdxkmg? ，便得 )(tx 滿足的微分方程為 ： O )(tx P tkmgekgmkgmykgmckgmcxxtkmgeccykmgAAtyeccymkrrrmkrgxmkxxdmgxmtmktmktmk???????????????????????????????????22222222212121212,0)0(,0)0(:,*。,00特解為確定出初始條件通解代入方程得設(shè)齊次的通解解得特征方程即 ，起動(dòng)時(shí)一端離開釘子 8m，另一端離開釘子 12m，若不計(jì)摩擦力，求鏈條全部滑下所需時(shí)間 . 解：考查鏈條的末端（在 8 米處）記為 P，坐標(biāo)系如圖： 在 t 時(shí)刻 P 坐標(biāo)為 )(tx ，于是 0)0(,8)0( ??? xx .t 時(shí)刻鏈條所受的合力是： ?? ()220( gx? 是鏈條線密度） 整個(gè)鏈條的質(zhì)量為： ?20 由 maF? ，得 gxdt xd ?? )220(20 22 ??? ， gxgdt xd ??? 1022 ，（有特解 10?x ） 求出通解 ?x 10102101 ??? tgtg ecec 然后由 0)( ?tx 解出全部滑落的時(shí)間 ?t )625ln(10 ?g （秒） ? 、初速 0v 發(fā)射炮彈，若不計(jì)空氣阻力，求彈道曲線 . O )(tx P x 解 ： 取 坐 標(biāo) 系 如 圖 . 設(shè)彈道曲線為??? ?? )()(tyy txx， t 時(shí)刻受力為： （ 0， mg? ）， 即 mgtymtxm ??????? )(,0)( ， 有????????????cos)0(0)0(0)(0vxxtx ，?????????????sin)0(0)0()(0vxygty 分別可以解得： ?)(tx tV ??cos0 ?)(ty tVgt ??? ?sin21 02 167。 8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 1． 求下列微分方程的通解 （ 1） 323 22 xyyxyxyx ?????????? ； ? ))(),(()( tytxtp ? x y 3322133221332122332332341)ln(41)(41*2,1,0)2()1(,0254)254(22)1()2)(1()1(,)2)(1(,1ln,:xxxccxcyeetccecyAAeyrrrrrrrreyDDDeyDyyDDyDDDyDDyxyDDDyxDy ，yxxdtdydxdtdtdyyxtexttttttt??????????????????????????????????????????????????原方程的解為通解代入解得設(shè)即特征方程整理得代入原式同理推出即令解 （ 2）xxyxyy 22 ??????. xxxxccyetetccyAyyeAtyrrrreyDDeyDDDexxyyxyxxtttttt2212212212222ln)ln()(1*,**1,0122)12(2]1)1([2::??????????????????????????????原方程的通解通解代入方程解得求出設(shè)特征方程即原方程化為令兩邊同乘解 2．求下列微分方程組的通解 （ 1）??????????????33yxdtdydtdxyxdtdydtdx tctcydtdxyxtctcxxxxdtdyydtdxc o ss i n3s i nc o s,33,22:2121??????????????得代入將解出于是有兩方程相減得兩方程相加得解 （ 2）?????????????00432222yxdt ydyxdt xd ? ?? ?:1,10120)3)(1(41)2()3(41)2(01)1(043:43212422222于是得通解解出特征方程代入解出解????????????????????rrrrrrxxDDxDyxyDyxD???? ????? ??????? ???? ?? tt tt etCCCetCCCy etCCetCCx )(21)(21 )()( 443221 4321 自測題 1． 求下列微分方程的解 （ 1）xyxyy tan???； 解：令 ,yu x? 則 dy duuxdx dx?? ，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程 ta nduu x u udx? ? ? ， 分離變量積分 cot dxudu x???即 sinsind u dxux???，得 sinu Cx? ，故原方程通解 為Cxxy?sin （ 2） 0)2( 2 ??? dyxyxyd x ； 解：原方程變形為伯努力方程 21 2dx xxdy y? ?? 令 1zx?? ，則化為線性方程 1 2dz zdx y?? 故 112d y d yyyz e e d y C? ???????????得 ? ?21z y Cy??， 故2 yx yC? ? 法二： ? ?00021:2222???????????????????????????yxydydxydy d ydyxdxxyx兩邊同除以解 Cyxy ??? 2 ； （ 3）