【正文】 A． 0)( 222 ???? xyxdx yd B． 0222 ???? yyydx yd C． 02222 ???? xyyxdx yd D． 022 ??? xdxdyydx yd （三）計算題 1．求下列微分方程的通解或特解； （ 1） 1,01 02 ???? ?xydyxxydx （ 2） 0)( 22 ??? xydydxyx （ 3） yxyy sec2??? （ 4） )lnln1( xyxyy ???? 2．求下列方程的通解或特解 （ 1） 1)(,s in ???? ?yx xxyy （ 2） 1???? yxy 3．設(shè)方程 )(102 xfyyy ?????? 中 )(xf 分別為以下各函數(shù)， 問特解如何去設(shè)？ （ 1） xxexf ?)( （ 2） xexf x 3sin)( ? 27 （ 3） xxexf x 3cos)( ? 4．求下列方程的通解 （ 1） xxeyyy ??????? 23 （ 2） xyyy c o s596 ?????? （ 3） xyyy 2sin?????? 5．一曲線上各點的法線都通過點 ),( ba ，求此曲線的 方程。 A． 1； B． 2； C． 4； D． 5 2．微分方程 0)( ???? xQyyx 的通解為（ ） A． ? ?? CdxxxQx2 )( B． ? ?? ? ))(( CdxxxQe x ； C． ? ?CdxxxQex )( D． ? ?CdxxxQx2 )( 02 ?????? yyy 的通解為（ ） A． xx eCeCy 221 ??? ； B． 221 xx eCeCy ?? ? ； C． 221 xx eCeCy ??? ； D. xx eCeCy 221 ?? ? 4．微分方程 0)1(2 ??? dyxdxy 是（ ）微分方程。 5．微分方程 02 ?????? yyy 的通解為 。 3．方程 xxeyyy ?????? 32 的特解應(yīng)設(shè)為 ??y 。 例 13 潛水 艇下降過程中受到重力 mg 與阻力 dtdxk? 的作用，于是運動方程為 即 22dt xdmdtdxkmg ?? mgdtdxkdtmdm ??22 ① 25 這 是 二階線性非齊次方程，特征方程為 02 ?? ?? km 特征根為 ,0 mk??? ?? 故對應(yīng)的齊次方程的通解為 tmkeCCx ??? 21 ② 由非齊次項 ,)( mgxf ? 0 是特征根，故方 程①的特建設(shè)為 Atx ?? 代入 方程①得 kmgAmgkA ?? , ，從而特解為 tkmgx ?? ③ 由 ②、③知方程①的通解為 tkmgeCCtx tmk ??? ?21)( ④ 依題意 ， 0?t 時， 0)0(,0)0( ??? xx ，代入④中有 0)0( 21 ??? CCx 0)()0( 02 ???? ?? ttmk kmgeCmkx 解出 22122 ,2 k gmCk gmC ??? 于是得到潛水艇下降的深度 x 與時間 t 的關(guān)系是 )1()( 22 tek gmtkmgtx mk???? 三、自我檢測題 （一）填空題 xy?? 的通解為 。 于是由該切線、二坐標軸及直線 xX? 所圍成的梯形面積為 2020 21])(21[])([ xyyxyXxXydXyxXyS xx ??????????? ? 由已知條件 23aS? 得 24 22 321 ayxxy ???? 即 2262 xaxyy ???? （ *） ②解方程 這是一個線性非 齊次方程，其對應(yīng)的齊次方程的通解為 2ln22 CxCeCey xx ???? ? 用常數(shù)變易法求非齊次方程（ *）的通解，設(shè)通解為 2)( xxCy? 代入 方程（ *），整理后得 42222 6)(,6)( xaxCxaxxC ?????? 積分 ， 得 ? ???? CxadxxaxC3242 26)( 從而得到 232 )2( xCxay ?? 即所求曲線方程為 )2( 22 xaCxy ?? 求解 微分方程的應(yīng)用問題時，首先要列出方程，然后再求解。 解 將 xxf 2sin)( ? 變形為 xxf 2c os2121)( ?? 于是原方程的通解 y 是齊次方程 0?????? yyy ① 的通解 y 與下面兩個方程 21?????? yyy ② xyyy 2c os21?????? ③ 的特解 ?1y 和 ?2y 的和，即 ?? ??? 21 yyyy 特征方程為 012 ????? ，特征根為 i2321 ???? ，故方程①的通解為 )23s i n23c os( 2121 xCxCey x ?? ? 對方程②來講，由于 0 不是特征根，故特解設(shè)為 Ay ??1 23 代入方程②，解出 21?A ，故 211 ??y 對方程③來講，由于 ?? iaa ??? ,2,0 不是特征根，故特 解設(shè)為 xBxBy 2s in2c o s 212 ??? 計算 ??2y 、 ??2y 并代入方程，整理得 xxBBxBB 2c os212s i n)23(2c os)23( 1221 ?????? 比較兩端同類項系數(shù)得 ???????????02321231221BBBB 解出 ,131,26321 ??? BB故 xxy 2s in1312c os2632 ???? 所以原方程的通解為 ?? ??? 21 yyyy xxxCxCe x 2s i n1312c os26321)2 3s i n2 3c os( 212 ????? ? 求一階或二階微分方程 通解常用的方法還有數(shù)值解法（如龍格一庫塔法）、冪級數(shù)解法等，這些例 子教 材中已講得較詳細了，在此不贅述了，下面 看 一下關(guān)于微分方程 的 應(yīng)用問題舉例。 例 10 求下列微分方程的一個特解。 解 （ 1）先求齊次方程 052 ????? yy 的通解 y ，特征方程為 052 2 ?? ?? ，特征根為 25,0 21 ??? ?? 故齊次方程通解為 xeCCy 2521 ??? 由于 0?a 是特征根（方程右端函數(shù)可看作是 xex 025 ），故特解設(shè)為 CxBxAxeCBxAxxy x ??????? 2302 )( 注意： 無論 )(xf 中有無了 一 次項及常數(shù)項，在設(shè) ?y 時，其中的二次多項式 )(2xQ 中必須含有二次項、一次項和常數(shù)項。 解 （ 1） 所給微分方程的特征方程是 01342 ??? ?? 特征 根 i32???? ，為一對共軛復根，因此所求通解為 )3s in3c o s( 212 xCxCey x ?? ? （ 2）所給方程的特征方程是 0652 ??? ?? 特征 根 61 ??? ， 11?? 是兩個不相等的實根，因此所求通解為 xx eCeCy 261 ?? 例 7 求初值問題 ??? ??? ?????? 0)0(,1)0( 044 yy yyy 的解。 小結(jié) 從上面例子看出，方程（ 1） )(xfy ??? 直接積分兩次就可得到通解，而方程（ 2）和（ 3）則必須作代換后通過降價才能求通解，值得注意的是，對方程（ 2）和（ 3）所作的代換是相同的，即均為 py?? ，但 y? 的表達式卻是不同的，要根據(jù)方程中是含有 x 還是含有 y 而將y? 分別表示成 py ??? （ 方程（ 3）情形，含 x 不含 y ）或 dydppy ??? （方程（ 2）情形，含y 不含 x ）。 解 （ 1）方程右端不顯含 yy?, ，只把 y? 作為新未知函數(shù)，則方程就是關(guān)于 y? 的一階微分方程，兩邊積分，得 14 ? ????? 1Cexedxxey xxx 再積分即得通解 ? ??? dxCexey xx )(1 212 CxCexe xx ???? （ 2）方程不顯含 x ，作代換 yp ?? ，于是 dydppdxdydydpdxdpy ?????? 代入原方程，得 02 ?? pdydpyp 如果 0?p ，那么約去 p 并分離變量，得 ydypdp? 兩端積分并化簡，得 yCp 1? ，即 ??y yC1 分離變量并積分，得 21 lnln CxCy ?? 于是有