微分方程及其應(yīng)用ppt課件-wenkub
2022-11-18 21:15:53 本頁面
【正文】 所以 yp+ yc 確為方程 (1)的解 ． 又 yc 中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) ， 所以 y = yp+ yc 中也含有兩獨(dú)立的任意常數(shù) ， 故 y = yp+ yc 為方程 (1)的通解． ? ? (1)y p y q y f x?? ?? ? ?設(shè)? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0p c p c p cp p p c c cy y p y y q y yy py qy y py qyf x f x??? ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ?1 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的 解定理 3 若 y1為方程 y2為方程 ? ?2 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的 解則 y = y1 + y2 為方程 ? ? ? ?12 ( 3 )y p y q y f x f x?? ?? ? ? ?的解 . 證： 將 y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2y y p y y q y y??? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 2 2 2y p y q y y p y q y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?12f x f x? ? ? 右 端 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?設(shè)其中 p, q 為常數(shù) . 令方程 (2)的解為 rxye?（ r為待定常數(shù)） 代入方程 (2)得 2 0r x r x r xr e p r e q e? ? ?0rxe ? ? 02 ??? qprr (4) 由此可見，只要 r滿足方程 (4)，函數(shù) rxye?就是方程 (2)的解． 定義 稱方程 (4)為微分方程 (2)的特征方程，方程 (4)的兩個(gè)根 r1 , r2 稱為特征根． 由于特征方程 (4)的兩個(gè)根 2422,1qppr ???? 只能有三種 不同情形，相應(yīng)地，齊次方程 (2)的通解也有三種不同的形式． ① 當(dāng) Δ = p2 4q 0時(shí)，特征方程 (4)有兩個(gè)不相等的實(shí)根 r1≠ r2 ． 由上面的討論知道 1212r x r xy e y e??與是方程 (1)的兩個(gè)解． 又 y1與 y2線性無關(guān)，因此方程 (2)的通解為 : 1212r x r xy C e C e??② 當(dāng) Δ = p2 4q = 0時(shí)，特征方程 (4)有兩個(gè)相等實(shí)根 r = r1 = r2 ． 我們只能得到方程 (1)的一個(gè)解 rxey ?1? ? ? ? ? ?2 2 1, rxy u x y u x y u x e? ? ?設(shè) 即對 y2求導(dǎo)得 ? ?? ?222 2r x r x r xrxy u e u r e u r u ey u r u r u e? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ?222,yyy? ??將 代入方程 (2)， 得 ? ? ? ?? ? 02 2 ?????????? quruupururue rx0rxe ?? ? ? ?220u r p u r p r q u?? ?? ? ? ? ? ? ?又 r是特征方程的二重根， 22 0 , 0r p r p r q? ? ? ? ?所 以0???u因?yàn)?u(x)不是常數(shù)，不妨取 u(x)= x， 這樣得到方程（ 2）的 另一個(gè)解 2 ,rxy xe? 從而方程（ 2）的通解為 ? ?1 2 1 2r x r x r xy C e C x e C C x e? ? ? ?③ 如果 Δ = p2 4q 0，即特征方程 (4)有一對共軛復(fù)根 ? ?12 ,0r i r i? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?12 ( 2 ) .i x i xy e y e? ? ? ?????則 和 是 方 程 的 兩 個(gè) 復(fù) 數(shù) 形 式 的 解為了求出方程 (2)的兩個(gè)實(shí)數(shù)形式的解，利用歐拉公式 c o s s i niei? ????將 y1與 y2分別改寫為 ? ?? ?12c o s s i nc o s s i nx i x xx i x xy e e e x i xy e e e x i x? ? ?? ? ??????? ? ?? ? ?由定理 1知， ? ?? ?1211221c os21sin2xxy y y e xy y y e xi????? ? ?? ? ?仍是方程 (2)的解，這時(shí) 21s i n t a nc osxxy ex xexy??? ????不是常數(shù)， 1212 ( 2 ) .y C y C y??所 以 是 方 程 的 通 解? ?1 2 1 2c o s s in c o s s inx x xy C e x C e x e C x C x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即 綜上，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的步驟如下： 第一步 寫出方程的特征方程 2 0。 如 y = x2 + 2是方程 （ 1） 的解 , 顯然 y = x2 + C 也是方程 （ 1） 的解 . （ 2） 如果微分方程的解中所含獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階 數(shù) ， 這樣的解稱為微分方程的通解 . 如 y = x2 + C 是方程（ 1）的通解 . 4． 微分方程的初始條件和特解 （ 1）確定通解中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件； 一般地 一階微分方程的初始條件為： 二階微分方程的初始條件為： 0 0xxyy? ?0 0 0 0 1(xxy y x y y? ? ， ， 為 給 定 值 )0 1xxyy?? ?（ 2） 由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解 ， 稱為微 分方程的特解 。第六章 微分方程及其應(yīng)用 常微分方程的基本概念與分離變量法 一階線性微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程 常微分在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用 常微分方程的基本概念與分離變量法 微分方程的基本概念 1. 微分方程 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程 。 如 y = x2 + 2是方程 （ 1） 的特解 . 2 11 2 1 0 ? ,2?y C x x y y?? ? ? ? ?例 函 數(shù) 是 方 程 的 解 嗎 若 是 解 是 通 解 還 是 特 解2 1 22y x y C x?? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得2 2 2 212 2 1 2 2 1 1 02C x C x C x C x??? ? ? ? ? ? ? ?????2 1 .2y C x? ? ? 是 所 給 方 程 的 解2 12y C x??又 中含有一個(gè)任意常數(shù) C，而所給方程又是一階微分方程， 2 12y C x? ? ? 是所給方程的通解 . ? ?12002 1 011xxxy C x C e x y x y yyy???? ?? ? ? ? ? ??? ? ?例 驗(yàn) 證 是 微 分 方 程 的 通 解 ,并 求 出 滿 足 初 始 條 件 及 的 特 解 .1 2 1 2 2,:x x xy C x C e y C C e y C e?
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